Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 662 Атанасян — Подробные Ответы
Середина отрезка АВ лежит на оси Ох. Найдите m и n, если: а) A(-3; m; 5), B (2; -2; n); б) A(1; 0,5; -4), B (1; m; 2n); в) A (0; m; n+1), B(1; n; -m+1); г) A(7; 2m+n; -n), B(-5; -3; m-3).
Дано:
— Отрезок АВ лежит на оси Ох, то есть координата y для точек A и B равна 0.
— Координаты точек:
а) A(-3; m; 5), B(2; -2; n)
б) A(1; 0,5; -4), B(1; m; 2n)
в) A(0; m; n+1), B(1; n; -m+1)
г) A(7; 2m+n; -n), B(-5; -3; m-3)
Решение:
а) \(m = 2, n = -5\)
б) \(m = -0.5, n = 2\)
в) \(m = -1, n = 1\)
г) \(m = 2, n = -1\)
Дано:
— Отрезок АВ лежит на оси Ох, то есть координата y для точек A и B равна 0.
— Координаты точек:
а) A(-3; m; 5), B(2; -2; n)
б) A(1; 0,5; -4), B(1; m; 2n)
в) A(0; m; n+1), B(1; n; -m+1)
г) A(7; 2m+n; -n), B(-5; -3; m-3)
Решение:
Для нахождения значений m и n воспользуемся формулой для расчета координат середины отрезка:
\(M\left(\frac{x_a + x_b}{2}, \frac{y_a + y_b}{2}, \frac{z_a + z_b}{2}\right)\)
а) Для точек A(-3; m; 5) и B(2; -2; n):
\(x_m = \frac{x_a + x_b}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -0.5\)
\(y_m = \frac{y_a + y_b}{2} = \frac{m + (-2)}{2} = \frac{m — 2}{2}\)
\(z_m = \frac{z_a + z_b}{2} = \frac{5 + n}{2}\)
Приравнивая координаты середины отрезка к координатам точки M(0, 0, 0), получаем:
\(-0.5 = 0 \Rightarrow x_a = 2 \cdot 0 — (-3) = 3\)
\(\frac{m — 2}{2} = 0 \Rightarrow m = 2\)
\(\frac{5 + n}{2} = 0 \Rightarrow n = -5\)
б) Для точек A(1; 0,5; -4) и B(1; m; 2n):
\(x_m = \frac{x_a + x_b}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1\)
\(y_m = \frac{y_a + y_b}{2} = \frac{0.5 + m}{2}\)
\(z_m = \frac{z_a + z_b}{2} = \frac{-4 + 2n}{2}\)
Приравнивая координаты середины отрезка к координатам точки M(0, 0, 0), получаем:
\(1 = 0 \Rightarrow x_a = 2 \cdot 0 — 1 = -1\)
\(\frac{0.5 + m}{2} = 0 \Rightarrow m = -0.5\)
\(\frac{-4 + 2n}{2} = 0 \Rightarrow n = 2\)
в) Для точек A(0; m; n+1) и B(1; n; -m+1):
\(x_m = \frac{x_a + x_b}{2} = \frac{0 + 1}{2} = 0.5\)
\(y_m = \frac{y_a + y_b}{2} = \frac{m + n}{2}\)
\(z_m = \frac{z_a + z_b}{2} = \frac{n + 1 + (-m + 1)}{2} = \frac{n — m + 2}{2}\)
Приравнивая координаты середины отрезка к координатам точки M(0, 0, 0), получаем:
\(0.5 = 0 \Rightarrow x_a = 2 \cdot 0 — 0 = 0\)
\(\frac{m + n}{2} = 0 \Rightarrow n = -m\)
\(\frac{n — m + 2}{2} = 0 \Rightarrow n = m — 2\)
Подставляя \(n = -m\) в \(n = m — 2\), получаем \(m = -1, n = 1\)
г) Для точек A(7; 2m+n; -n) и B(-5; -3; m-3):
\(x_m = \frac{x_a + x_b}{2} = \frac{7 + (-5)}{2} = 1\)
\(y_m = \frac{y_a + y_b}{2} = \frac{2m + n + (-3)}{2} = \frac{2m — 3 + n}{2}\)
\(z_m = \frac{z_a + z_b}{2} = \frac{-n + (m — 3)}{2} = \frac{m — n — 3}{2}\)
Приравнивая координаты середины отрезка к координатам точки M(0, 0, 0), получаем:
\(1 = 0 \Rightarrow x_a = 2 \cdot 0 — 7 = -7\)
\(\frac{2m — 3 + n}{2} = 0 \Rightarrow 2m — 3 + n = 0 \Rightarrow n = 3 — 2m\)
\(\frac{m — n — 3}{2} = 0 \Rightarrow m — (3 — 2m) — 3 = 0 \Rightarrow m = 2, n = -1\)
Ответ:
а) \(m = 2, n = -5\)
б) \(m = -0.5, n = 2\)
в) \(m = -1, n = 1\)
г) \(m = 2, n = -1\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.