Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 661 Атанасян — Подробные Ответы
Точка М — середина отрезка АВ. Найдите координаты: а) точки М, если А (0; 3; -4), В (-2; 2; 0); б) точки В, если А (14; -8; 5), М (3; -2; -7); в) точки А, если В (0; 0; 2), М (-12; 4; 15).
а) Координаты точки М: \(M\left(\frac{0 + (-2)}{2}, \frac{3 + 2}{2}, \frac{-4 + 0}{2}\right) = M(-1, 2.5, -2)\)
б) Координаты точки В: \(B\left(\frac{14 + (-12)}{2}, \frac{-8 + 4}{2}, \frac{5 + 15}{2}\right) = B(-8, -2, 10)\)
в) Координаты точки А: \(A\left(\frac{0 + 2 \cdot (-12)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 2 \cdot 4}{2 \cdot 1}, \frac{2 \cdot 15 — 2}{2 \cdot 1}\right) = A(-24, 8, 28)\)
Ответ: а) M(-1, 2.5, -2), б) B(-8, -2, 10), в) A(-24, 8, 28).
Дано:
— Точка А имеет координаты \(A(0, 3, -4)\)
— Точка В имеет координаты \(B(-2, 2, 0)\)
— Точка М является серединой отрезка АВ
Для нахождения координат точки М, используем формулу для расчета координат середины отрезка:
\(M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)\)
Подставляя значения координат точек А и В, получаем:
\(M\left(\frac{0 + (-2)}{2}, \frac{3 + 2}{2}, \frac{-4 + 0}{2}\right) = M(-1, 2.5, -2)\)
Таким образом, координаты точки М: \(M(-1, 2.5, -2)\)
Дано:
— Точка А имеет координаты \(A(14, -8, 5)\)
— Точка М имеет координаты \(M(3, -2, -7)\)
— Точка В неизвестна
Для нахождения координат точки В, используем ту же формулу для расчета координат середины отрезка:
\(B\left(\frac{x_A + x_M}{2}, \frac{y_A + y_M}{2}, \frac{z_A + z_M}{2}\right)\)
Подставляя значения координат точек А и М, получаем:
\(B\left(\frac{14 + 3}{2}, \frac{-8 + (-2)}{2}, \frac{5 + (-7)}{2}\right) = B(8.5, -5, -1)\)
Таким образом, координаты точки В: \(B(8.5, -5, -1)\)
Дано:
— Точка В имеет координаты \(B(0, 0, 2)\)
— Точка М имеет координаты \(M(-12, 4, 15)\)
— Точка А неизвестна
Для нахождения координат точки А, используем ту же формулу для расчета координат середины отрезка:
\(A\left(\frac{x_B + 2 \cdot x_M}{2 \cdot 1}, \frac{y_B + 2 \cdot y_M}{2 \cdot 1}, \frac{z_B + 2 \cdot z_M}{2 \cdot 1}\right)\)
Подставляя значения координат точек В и М, получаем:
\(A\left(\frac{0 + 2 \cdot (-12)}{2 \cdot 1}, \frac{0 + 2 \cdot 4}{2 \cdot 1}, \frac{2 \cdot 15 — 2}{2 \cdot 1}\right) = A(-24, 8, 28)\)
Таким образом, координаты точки А: \(A(-24, 8, 28)\)
Ответ:
а) Координаты точки М: \(M(-1, 2.5, -2)\)
б) Координаты точки В: \(B(8.5, -5, -1)\)
в) Координаты точки А: \(A(-24, 8, 28)\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.