Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 660 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС с вершинами A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2), C (x3; y3; z3) имеет координаты \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)\).
Решение:
Пусть координаты точки пересечения медиан треугольника ABC обозначаются как \((x_m, y_m, z_m)\). Согласно свойству медианы, \(x_m = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\), \(y_m = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\) и \(z_m = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\). Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника ABC равны \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)\).
Дано: треугольник ABC с вершинами A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3).
Доказательство:
Пусть M(xm, ym, zm) — точка пересечения медиан треугольника ABC. Согласно свойству медианы, медиана делит противоположную сторону треугольника в отношении 2:1, отсчитывая от вершины.
Рассмотрим медиану, проведенную из вершины A. Пусть точка D — середина стороны BC. Тогда координаты точки D равны:
\(x_D = \frac{x_2 + x_3}{2}\), \(y_D = \frac{y_2 + y_3}{2}\), \(z_D = \frac{z_2 + z_3}{2}\)
Согласно свойству медианы, точка M делит отрезок AD в отношении 2:1, отсчитывая от вершины A. Следовательно, координаты точки M можно выразить как:
\(x_m = \frac{2x_1 + x_2 + x_3}{3}\), \(y_m = \frac{2y_1 + y_2 + y_3}{3}\), \(z_m = \frac{2z_1 + z_2 + z_3}{3}\)
Упрощая эти выражения, получаем:
\(x_m = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\), \(y_m = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\), \(z_m = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\)
Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника ABC равны \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.