Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 660 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что точка пересечения медиан треугольника АВС с вершинами A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2), C (x3; y3; z3) имеет координаты \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)\).
Решение:
Пусть координаты точки пересечения медиан треугольника ABC обозначаются как \((x_m, y_m, z_m)\). Согласно свойству медианы, \(x_m = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\), \(y_m = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\) и \(z_m = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\). Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника ABC равны \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)\).
Дано: треугольник ABC с вершинами A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) и C(x3, y3, z3).
Доказательство:
Пусть M(xm, ym, zm) — точка пересечения медиан треугольника ABC. Согласно свойству медианы, медиана делит противоположную сторону треугольника в отношении 2:1, отсчитывая от вершины.
Рассмотрим медиану, проведенную из вершины A. Пусть точка D — середина стороны BC. Тогда координаты точки D равны:
\(x_D = \frac{x_2 + x_3}{2}\), \(y_D = \frac{y_2 + y_3}{2}\), \(z_D = \frac{z_2 + z_3}{2}\)
Согласно свойству медианы, точка M делит отрезок AD в отношении 2:1, отсчитывая от вершины A. Следовательно, координаты точки M можно выразить как:
\(x_m = \frac{2x_1 + x_2 + x_3}{3}\), \(y_m = \frac{2y_1 + y_2 + y_3}{3}\), \(z_m = \frac{2z_1 + z_2 + z_3}{3}\)
Упрощая эти выражения, получаем:
\(x_m = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}\), \(y_m = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\), \(z_m = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\)
Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника ABC равны \(\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.