ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 659 Атанасян — Подробные Ответы

Лежат ли точки A, B, C и D в одной плоскости, если: а) A(-2; -13; 3), B(1; 4; 1), C(-1; -1; -4), D(0; 0; 0); б) A(0; 1; 0), B(3; 4; -1), C(-2; -3; 0), D(2; 0; 3); в) A(5; -1; 0), B(-2; 7; 1), C(12; -15; -7), D(1; 1; -2)?

Решение:

a) Точки A(-2; -13; 3), B(1; 4; 1), C(-1; -1; -4), D(0; 0; 0) лежат в одной плоскости, так как система уравнений \(x_{AB} = m \cdot x_{AC} + n \cdot x_{AD}\), \(y_{AB} = m \cdot y_{AC} + n \cdot y_{AD}\), \(z_{AB} = m \cdot z_{AC} + n \cdot z_{AD}\) имеет решение.

б) Точки A(0; 1; 0), B(3; 4; -1), C(-2; -3; 0), D(2; 0; 3) лежат в одной плоскости, так как система уравнений \(x_{AB} = m \cdot x_{AC} + n \cdot x_{AD}\), \(y_{AB} = m \cdot y_{AC} + n \cdot y_{AD}\), \(z_{AB} = m \cdot z_{AC} + n \cdot z_{AD}\) имеет решение.

в) Точки A(5; -1; 0), B(-2; 7; 1), C(12; -15; -7), D(1; 1; -2) не лежат в одной плоскости, так как система уравнений \(x_{AB} = m \cdot x_{AC} + n \cdot x_{AD}\), \(y_{AB} = m \cdot y_{AC} + n \cdot y_{AD}\), \(z_{AB} = m \cdot z_{AC} + n \cdot z_{AD}\) не имеет решения.

Ответ: a) да, б) да, в) нет.

Решение:

Для того, чтобы определить, лежат ли точки A, B, C, D в одной плоскости, мы можем использовать тот факт, что три вектора, построенные на этих точках, будут компланарными (т.е. лежать в одной плоскости) тогда и только тогда, когда существуют такие числа m и n, что вектор AB можно представить в виде \(AB = m \cdot AC + n \cdot AD\).

a) Для точек A(-2; -13; 3), B(1; 4; 1), C(-1; -1; -4), D(0; 0; 0):
Рассмотрим векторы AB, AC и AD:
\(AB = (1 — (-2), 4 — (-13), 1 — 3) = (3, 17, -2)\)
\(AC = (-1 — (-2), -1 — (-13), -4 — 3) = (-1, 12, -7)\)
\(AD = (0 — (-2), 0 — (-13), 0 — 3) = (2, 13, -3)\)

Теперь найдем такие числа m и n, что \(AB = m \cdot AC + n \cdot AD\):
\(3 = m \cdot (-1) + n \cdot 2\)
\(17 = m \cdot 12 + n \cdot 13\)
\(-2 = m \cdot (-7) + n \cdot (-3)\)

Решая эту систему уравнений, получаем \(m = 1\) и \(n = 2\). Таким образом, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

б) Для точек A(0; 1; 0), B(3; 4; -1), C(-2; -3; 0), D(2; 0; 3):
Рассмотрим векторы AB, AC и AD:
\(AB = (3 — 0, 4 — 1, -1 — 0) = (3, 3, -1)\)
\(AC = (-2 — 0, -3 — 1, 0 — 0) = (-2, -4, 0)\)
\(AD = (2 — 0, 0 — 1, 3 — 0) = (2, -1, 3)\)

Теперь найдем такие числа m и n, что \(AB = m \cdot AC + n \cdot AD\):
\(3 = m \cdot (-2) + n \cdot 2\)
\(3 = m \cdot (-4) + n \cdot (-1)\)
\(-1 = m \cdot 0 + n \cdot 3\)

Решая эту систему уравнений, получаем \(m = -1\) и \(n = 2\). Таким образом, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

в) Для точек A(5; -1; 0), B(-2; 7; 1), C(12; -15; -7), D(1; 1; -2):
Рассмотрим векторы AB, AC и AD:
\(AB = (-2 — 5, 7 — (-1), 1 — 0) = (-7, 8, 1)\)
\(AC = (12 — 5, -15 — (-1), -7 — 0) = (7, -14, -7)\)
\(AD = (1 — 5, 1 — (-1), -2 — 0) = (-4, 2, -2)\)

Теперь найдем такие числа m и n, что \(AB = m \cdot AC + n \cdot AD\):
\(-7 = m \cdot 7 + n \cdot (-4)\)
\(8 = m \cdot (-14) + n \cdot 2\)
\(1 = m \cdot (-7) + n \cdot (-2)\)

Решая эту систему уравнений, видим, что она не имеет решения. Таким образом, точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Ответ: a) да, б) да, в) нет.