Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 658 Атанасян — Подробные Ответы
Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если: а) А (3; -7; 8), B(-5; 4; 1), C (27; -40; 29); б) A (-5; 7; 12), B(4; -8; 3), C (13; -23; -6); в) A(-4; 8; -2), B(-3; -1; 7), C(-2; -10; -16)? Решение: а) Если векторы АВ и АС коллинеарны, то точки А, В и С лежат на одной прямой, а если не коллинеарны, то точки А, В и С не лежат на одной прямой. Найдём координаты этих векторов: АВ (-8; 11; -7}, АС {24; -33; 21}. Очевидно, АС = -3АВ, поэтому векторы АВ и АС коллинеарны, и, следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой.
Вот краткое решение в соответствии с примером:
а) Векторы АВ и АС коллинеарны, поэтому точки А, В и С лежат на одной прямой.
б) Векторы АВ и АС коллинеарны, поэтому точки А, В и С лежат на одной прямой.
в) Векторы АВ и АС не коллинеарны, поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой.
Решение:
Для того, чтобы определить, лежат ли точки А, В и С на одной прямой, необходимо проверить, являются ли векторы АВ и АС коллинеарными. Если векторы коллинеарны, то точки лежат на одной прямой, если нет — то не лежат.
Рассмотрим каждый случай:
а) А(3; -7; 8), B(-5; 4; 1), C(27; -40; 29)
Координаты вектора АВ: АВ = (-5 — 3; 4 — (-7); 1 — 8) = (-8; 11; -7)
Координаты вектора АС: АС = (27 — 3; -40 — (-7); 29 — 8) = (24; -33; 21)
Очевидно, что АС = -3АВ, то есть векторы АВ и АС коллинеарны. Следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой.
б) A(-5; 7; 12), B(4; -8; 3), C(13; -23; -6)
Координаты вектора АВ: АВ = (4 — (-5); -8 — 7; 3 — 12) = (9; -15; -9)
Координаты вектора АС: АС = (13 — (-5); -23 — 7; -6 — 12) = (18; -30; -18)
Очевидно, что АС = 2АВ, то есть векторы АВ и АС коллинеарны. Следовательно, точки А, В и С лежат на одной прямой.
в) A(-4; 8; -2), B(-3; -1; 7), C(-2; -10; -16)
Координаты вектора АВ: АВ = (-3 — (-4); -1 — 8; 7 — (-2)) = (1; -9; 9)
Координаты вектора АС: АС = (-2 — (-4); -10 — 8; -16 — (-2)) = (2; -18; -14)
Видно, что векторы АВ и АС не коллинеарны, так как \(2 \cdot \text{АВ} \neq \text{АС}\). Следовательно, точки А, В и С не лежат на одной прямой.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.