Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 657 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки А (3; -1; 5), В(2; 3; -4), С (7; 0; -1) и D (8; -4; 8). Докажите, что векторы АВ и DC равны. Равны ли векторы ВС и AD?
Решение:
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Для доказательства равенства векторов AB и DC достаточно найти их координаты и сравнить:
\(AB = \{2 — 3, 3 — (-1), -4 — 5\} = \{-1, 4, 9\}\)
\(DC = \{7 — 8, 0 — (-4), -1 — 8\} = \{-1, 4, 9\}\)
Таким образом, AB = DC.
Для доказательства равенства векторов BC и AD находим их координаты:
\(BC = \{7 — 2, 0 — 3, -1 — (-4)\} = \{5, -3, 3\}\)
\(AD = \{8 — 3, -4 — (-1), 8 — 5\} = \{5, -3, 3\}\)
Следовательно, BC = AD.
Ответ: AB = DC, BC = AD.
Дано:
Точки A(3; -1; 5), B(2; 3; -4), C(7; 0; -1) и D(8; -4; 8).
Требуется доказать, что векторы AB и DC равны, а также векторы BC и AD равны.
Решение:
Для доказательства равенства векторов AB и DC необходимо найти их координаты и сравнить.
Координаты вектора AB:
\(AB = \{B_x — A_x, B_y — A_y, B_z — A_z\} = \{2 — 3, 3 — (-1), -4 — 5\} =\)
\(= \{-1, 4, -9\}\)
Координаты вектора DC:
\(DC = \{D_x — C_x, D_y — C_y, D_z — C_z\} = \{8 — 7, -4 — 0, 8 — (-1)\} =\)
\(= \{1, -4, 9\}\)
Сравнивая координаты векторов AB и DC, видим, что они равны, следовательно, векторы AB и DC равны.
Для доказательства равенства векторов BC и AD необходимо найти их координаты и сравнить.
Координаты вектора BC:
\(BC = \{C_x — B_x, C_y — B_y, C_z — B_z\} = \{7 — 2, 0 — 3, -1 — (-4)\}=\)
\( = \{5, -3, 3\}\)
Координаты вектора AD:
\(AD = \{D_x — A_x, D_y — A_y, D_z — A_z\} = \{8 — 3, -4 — (-1), 8 — 5\} =\)
\(= \{5, -3, 3\}\)
Сравнивая координаты векторов BC и AD, видим, что они равны, следовательно, векторы BC и AD равны.
Ответ: AB = DC, BC = AD.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.