Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 652 Атанасян — Подробные Ответы
Компланарны ли векторы:
а) [ [-3; — 3; 0}, і и ј;
б) [ [2; 0; — 3}, [ и ];
в) с [1; 0; — 2}, { и к;
г) { [1; — 1; 2)}, {-2; 0; 1} и {5; — 1; 0};
д) m [1; 0; 2}, n [1; 1; — 1} и {-1; 2; 4};
е) q [0; 5; 3}, {{3; 3; 3} и 3 [1; 1; 4]?
Решение:
а) Векторы компланарны, так как существует решение системы уравнений \(x_a = m \cdot x_b + n \cdot x_c, \; z_a = m \cdot z_b + n \cdot z_c\), а именно \(m = -3, \; n = -3\).
б) Векторы не компланарны, так как \(-3 + m \cdot 0 + n \cdot 0 = 0\) для любых \(m\) и \(n\).
в) Векторы компланарны, так как существует решение \(c = \mathbf{i} — 2 \mathbf{k}\).
г) Векторы компланарны, так как существует решение \(m = 2, \; n = 1\).
д) Векторы не компланарны, так как \(m = -2 \cdot n\) не имеет решения \(m = -\frac{2}{3}, \; n = \frac{1}{3}\).
е) Векторы не компланарны, так как \(5 \neq 0\).
Решение:
Для определения компланарности векторов используется условие, что векторы \(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\) являются компланарными, если существуют такие скаляры \(m\) и \(n\), что выполняется система уравнений:
\(\mathbf{a} = m \cdot \mathbf{b} + n \cdot \mathbf{c}\)
Или в координатной форме:
\(x_a = m \cdot x_b + n \cdot x_c\)
\(y_a = m \cdot y_b + n \cdot y_c\)
\(z_a = m \cdot z_b + n \cdot z_c\)
Рассмотрим каждый случай по отдельности:
а) Векторы \(\mathbf{a} = (-3, -3, 0), \; \mathbf{i} = (1, 0, 0), \; \mathbf{j} = (0, 1, 0)\):
Подставляя значения в систему уравнений, получаем:
\(x_a = m \cdot x_i + n \cdot x_j = -3 = m \cdot 1 + n \cdot 0\)
\(y_a = m \cdot y_i + n \cdot y_j = -3 = m \cdot 0 + n \cdot 1\)
\(z_a = m \cdot z_i + n \cdot z_j = 0 = m \cdot 0 + n \cdot 0\)
Решая систему, находим \(m = -3, \; n = -3\). Таким образом, векторы компланарны.
б) Векторы \(\mathbf{b} = (2, 0, -3), \; \mathbf{i} = (1, 0, 0), \; \mathbf{j} = (0, 1, 0)\):
Подставляя значения в систему уравнений, получаем:
\(x_b = m \cdot x_i + n \cdot x_j = 2 = m \cdot 1 + n \cdot 0\)
\(y_b = m \cdot y_i + n \cdot y_j = 0 = m \cdot 0 + n \cdot 1\)
\(z_b = m \cdot z_i + n \cdot z_j = -3 = m \cdot 0 + n \cdot 0\)
Решая систему, находим \(m = 2, \; n = 0\). Таким образом, векторы не компланарны, так как \(-3 + m \cdot 0 + n \cdot 0 = 0\) для любых \(m\) и \(n\).
в) Векторы \(\mathbf{c} = (1, 0, -2), \; \mathbf{i} = (1, 0, 0), \; \mathbf{k} = (0, 0, 1)\):
Подставляя значения в систему уравнений, получаем:
\(x_c = m \cdot x_i + n \cdot x_k = 1 = m \cdot 1 + n \cdot 0\)
\(y_c = m \cdot y_i + n \cdot y_k = 0 = m \cdot 0 + n \cdot 0\)
\(z_c = m \cdot z_i + n \cdot z_k = -2 = m \cdot 0 + n \cdot 1\)
Решая систему, находим \(m = 1, \; n = -2\). Таким образом, векторы компланарны.
г) Векторы \(\mathbf{d} = (1, -1, 2), \; \mathbf{i} = (-2, 0, 1), \; \mathbf{f} = (5, -1, 0)\):
Подставляя значения в систему уравнений, получаем:
\(x_d = m \cdot x_i + n \cdot x_f = 1 = m \cdot (-2) + n \cdot 5\)
\(y_d = m \cdot y_i + n \cdot y_f = -1 = m \cdot 0 + n \cdot (-1)\)
\(z_d = m \cdot z_i + n \cdot z_f = 2 = m \cdot 1 + n \cdot 0\)
Решая систему, находим \(m = 2, \; n = 1\). Таким образом, векторы компланарны.
д) Векторы \(\mathbf{m} = (1, 0, 2), \; \mathbf{n} = (1, 1, -1), \; \mathbf{p} = (-1, 2, 4)\):
Подставляя значения в систему уравнений, получаем:
\(x_m = m \cdot x_n + n \cdot x_p = 1 = m \cdot 1 + n \cdot (-1)\)
\(y_m = m \cdot y_n + n \cdot y_p = 0 = m \cdot 1 + n \cdot 2\)
\(z_m = m \cdot z_n + n \cdot z_p = 2 = m \cdot (-1) + n \cdot 4\)
Решая систему, находим \(m = -2, \; n = \frac{1}{3}\). Таким образом, векторы не компланарны, так как \(m = -2 \cdot n\) не имеет целочисленного решения.
е) Векторы \(\mathbf{q} = (0, 5, 3), \; \mathbf{r} = (3, 3, 3), \; \mathbf{s} = (1, 1, 4)\):
Подставляя значения в систему уравнений, получаем:
\(x_q = m \cdot x_r + n \cdot x_s = 0 = m \cdot 3 + n \cdot 1\)
\(y_q = m \cdot y_r + n \cdot y_s = 5 = m \cdot 3 + n \cdot 1\)
\(z_q = m \cdot z_r + n \cdot z_s = 3 = m \cdot 3 + n \cdot 4\)
Решая систему, находим \(5 \neq 0\). Таким образом, векторы не компланарны.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.