Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 650 Атанасян — Подробные Ответы
Коллинеарны ли векторы:
а) а [3; 6; 8) и б [6; 12; 16)};
б) с [1; — 1; 3)} и д [2; 3; 15)};
в) {1; 0; 0} и {0; 1; 0};
г) {0; 0; 0} и {5; 7; — 3};
д) \(\left[\frac{1}{-5}; \frac{1}{-3}; \frac{1}{-15}\right]\) и \(q[1; -3; -15]?\)
Решение:
а) Векторы \(\vec{a} = (3; 6; 8)\) и \(\vec{b} = (6; 12; 16)\) коллинеарны, так как их координаты пропорциональны: \(\frac{3}{6} = \frac{6}{12} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\).
б) Векторы \(\vec{c} = (1; -1; 3)\) и \(\vec{d} = (2; 3; 15)\) не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны.
в) Векторы \(\vec{i} = (1; 0; 0)\) и \(\vec{j} = (0; 1; 0)\) не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны.
г) Векторы \(\vec{m} = (0; 0; 0)\) и \(\vec{n} = (5; 7; -3)\) коллинеарны, так как координаты вектора \(\vec{m}\) равны нулю, а значит он коллинеарен любому ненулевому вектору.
д) Векторы \(\vec{p} = \left(\frac{1}{-5}; \frac{1}{-3}; \frac{1}{-15}\right)\) и \(\vec{q} = (1; -3; -15)\) не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны.
Ответ: выше.
Решение:
Для определения коллинеарности векторов необходимо проверить, являются ли их координаты пропорциональными.
Рассмотрим каждую пару векторов по отдельности:
а) Векторы \(\vec{a} = (3; 6; 8)\) и \(\vec{b} = (6; 12; 16)\):
Координаты векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) пропорциональны, так как \(\frac{3}{6} = \frac{6}{12} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}\). Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
б) Векторы \(\vec{c} = (1; -1; 3)\) и \(\vec{d} = (2; 3; 15)\):
Координаты векторов \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) не пропорциональны, так как \(\frac{1}{2} \neq \frac{-1}{3} \neq \frac{3}{15}\). Следовательно, векторы \(\vec{c}\) и \(\vec{d}\) не коллинеарны.
в) Векторы \(\vec{i} = (1; 0; 0)\) и \(\vec{j} = (0; 1; 0)\):
Координаты векторов \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) не пропорциональны, так как \(\frac{1}{0} \neq \frac{0}{1} \neq \frac{0}{0}\). Следовательно, векторы \(\vec{i}\) и \(\vec{j}\) не коллинеарны.
г) Векторы \(\vec{m} = (0; 0; 0)\) и \(\vec{n} = (5; 7; -3)\):
Координаты вектора \(\vec{m}\) равны нулю, а значит он коллинеарен любому ненулевому вектору, в том числе и вектору \(\vec{n}\). Следовательно, векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) коллинеарны.
д) Векторы \(\vec{p} = \left(\frac{1}{-5}; \frac{1}{-3}; \frac{1}{-15}\right)\) и \(\vec{q} = (1; -3; -15)\):
Координаты векторов \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) не пропорциональны, так как \(\frac{\frac{1}{-5}}{1} \neq \frac{\frac{1}{-3}}{-3} \neq \frac{\frac{1}{-15}}{-15}\). Следовательно, векторы \(\vec{p}\) и \(\vec{q}\) не коллинеарны.
Ответ: выше.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.