Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 635 Атанасян — Подробные Ответы
Треугольники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) и \(А_2B_2C_2\) расположены так, что точки \(А\), \(В\), \(С\) являются серединами отрезков \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\) соответственно. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) лежат на одной прямой.
Доказательство:
1) Пусть точки \(M\), \(M_1\) и \(M_2\) — точки пересечения медиан данных треугольников.
2) Если точку \(M\) считать произвольной точкой пространства для \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\), тогда по задаче 366: \(MM_1 = \frac{1}{3}(MA_1 + MB_1 + MC_1)\) и \(MM_2 = \frac{1}{3}(MA_2 + MB_2 + MC_2)\), тогда \(MM_1 + MM_2 = \frac{1}{3}(MA_1 + MA_2 + MB_1 + MB_2 + MC_1 + MC_2)\).
3) Пусть \(K\) — середина отрезка \(AB\), тогда: \(MK = \frac{1}{2}(MA + MB)\), тогда \(MA_1 + MA_2 = 2MA\), \(MB_1 + MB_2 = 2MB\) и \(MC_1 + MC_2 = 2MC\).
4) \(MM_1 + MM_2 = \frac{1}{3}(MA + MB + MC) = 0\).
5) \(MM_1 + MM_2 = 0\), значит векторы \(MM_1\) и \(MM_2\) коллинеарны, они имеют общую точку, а значит они лежат на одной прямой, следовательно точки \(M\), \(M_1\) и \(M_2\) — лежат на одной прямой.
Дано: Треугольники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) расположены так, что точки \(A\), \(B\), \(C\) являются серединами отрезков \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\) соответственно.
Доказательство:
Пусть \(M\), \(M_1\) и \(M_2\) — точки пересечения медиан треугольников \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) и \(A_2B_2C_2\) соответственно.
Рассмотрим треугольник \(A_1B_1C_1\). Согласно свойству медианы, точка \(M_1\) делит медиану \(A_1B_1\) в отношении \(2:1\) от вершины \(A_1\), то есть \(MA_1 = 2\cdot A_1M_1\). Аналогично, \(MB_1 = 2\cdot B_1M_1\) и \(MC_1 = 2\cdot C_1M_1\).
Теперь рассмотрим треугольник \(A_2B_2C_2\). Точка \(M_2\) также делит медианы этого треугольника в отношении \(2:1\), то есть \(MA_2 = 2\cdot A_2M_2\), \(MB_2 = 2\cdot B_2M_2\) и \(MC_2 = 2\cdot C_2M_2\).
Согласно условию, точки \(A\), \(B\) и \(C\) являются серединами отрезков \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\) соответственно. Следовательно, \(MA_1 + MA_2 = 2MA\), \(MB_1 + MB_2 = 2MB\) и \(MC_1 + MC_2 = 2MC\).
Теперь рассмотрим сумму векторов \(MM_1\) и \(MM_2\):
\(MM_1 = \frac{1}{3}(MA_1 + MB_1 + MC_1)\)
\(MM_2 = \frac{1}{3}(MA_2 + MB_2 + MC_2)\)
\(MM_1 + MM_2 = \frac{1}{3}(MA_1 + MA_2 + MB_1 + MB_2 + MC_1 + MC_2)\)
Используя полученные ранее соотношения, получаем:
\(MM_1 + MM_2 = \frac{1}{3}(2MA + 2MB + 2MC) = \frac{2}{3}(MA + MB + MC) = 0\)
Таким образом, векторы \(MM_1\) и \(MM_2\) коллинеарны и имеют общую точку \(M\), следовательно, точки \(M\), \(M_1\) и \(M_2\) лежат на одной прямой.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.