Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 631 Атанасян — Подробные Ответы
В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) диагонали грани \(DCC_1D_1\) пересекаются в точке \(М\). Разложите вектор \(\vec{АМ}\) по векторам \(\vec{АВ}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{АА_1}\).
Решение:
1) Векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{АА_1}\) некомпланарны, поэтому можно использовать правило параллелепипеда.
2) Пусть \(\vec{K}\) — середина \(\vec{AB}\), \(\vec{E}\) — середина \(\vec{АА_1}\), \(\vec{F}\) — середина \(\vec{DC}\), \(\vec{T}\) — середина \(\vec{DD_1}\) и \(\vec{N} = \vec{AB_1} \cap \vec{B_1A}\), тогда \(\vec{AKFDENMT}\) — параллелепипед.
3) \(\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{AK} + \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\).
Ответ: \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\).
Дано: параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), диагонали грани \(DCC_1D_1\) пересекаются в точке \(M\). Требуется разложить вектор \(\vec{AM}\) по векторам \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).
Решение:
1) Векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\) являются некомпланарными, то есть они не лежат в одной плоскости. Это означает, что мы можем использовать правило параллелепипеда для разложения вектора \(\vec{AM}\) по этим векторам.
2) Рассмотрим вспомогательные точки \(K\), \(E\), \(F\), \(T\) и \(N\):
— Точка \(K\) является серединой отрезка \(AB\).
— Точка \(E\) является серединой отрезка \(AA_1\).
— Точка \(F\) является серединой отрезка \(DC\).
— Точка \(T\) является серединой отрезка \(DD_1\).
— Точка \(N\) является точкой пересечения прямых \(AB_1\) и \(B_1A\).
Тогда параллелепипед \(AKFDENMT\) является вспомогательным параллелепипедом, который поможет нам разложить вектор \(\vec{AM}\).
3) Применяя правило параллелепипеда, получаем:
\(\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{AK} + \vec{AD}\)
\(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\)
Ответ: \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.