Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 631 Атанасян — Подробные Ответы
В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) диагонали грани \(DCC_1D_1\) пересекаются в точке \(М\). Разложите вектор \(\vec{АМ}\) по векторам \(\vec{АВ}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{АА_1}\).
Решение:
1) Векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{АА_1}\) некомпланарны, поэтому можно использовать правило параллелепипеда.
2) Пусть \(\vec{K}\) — середина \(\vec{AB}\), \(\vec{E}\) — середина \(\vec{АА_1}\), \(\vec{F}\) — середина \(\vec{DC}\), \(\vec{T}\) — середина \(\vec{DD_1}\) и \(\vec{N} = \vec{AB_1} \cap \vec{B_1A}\), тогда \(\vec{AKFDENMT}\) — параллелепипед.
3) \(\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{AK} + \vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\).
Ответ: \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\).
Дано: параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), диагонали грани \(DCC_1D_1\) пересекаются в точке \(M\). Требуется разложить вектор \(\vec{AM}\) по векторам \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).
Решение:
1) Векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\) являются некомпланарными, то есть они не лежат в одной плоскости. Это означает, что мы можем использовать правило параллелепипеда для разложения вектора \(\vec{AM}\) по этим векторам.
2) Рассмотрим вспомогательные точки \(K\), \(E\), \(F\), \(T\) и \(N\):
— Точка \(K\) является серединой отрезка \(AB\).
— Точка \(E\) является серединой отрезка \(AA_1\).
— Точка \(F\) является серединой отрезка \(DC\).
— Точка \(T\) является серединой отрезка \(DD_1\).
— Точка \(N\) является точкой пересечения прямых \(AB_1\) и \(B_1A\).
Тогда параллелепипед \(AKFDENMT\) является вспомогательным параллелепипедом, который поможет нам разложить вектор \(\vec{AM}\).
3) Применяя правило параллелепипеда, получаем:
\(\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{AK} + \vec{AD}\)
\(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\)
Ответ: \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AA_1} + \frac{1}{2}\vec{AB} + \vec{AD}\)
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.