Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 629 Атанасян — Подробные Ответы
На трёх некомпланарных векторах \(\vec{p} = \vec{AB}\), \(\vec{q} = \vec{AD}\), \(\vec{r} = \vec{AA_1}\) построен параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Разложите по векторам \(\vec{p}\), \(\vec{q}\) и \(\vec{r}\) векторы, образованные диагоналями этого параллелепипеда.
Решение:
1) Векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\) не компланарны, следовательно, не компланарны и обратные им векторы.
2) Используя правило параллелепипеда, получаем:
\(\vec{AC_1} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}\)
\(\vec{CA_1} = -\vec{p} — \vec{q} + \vec{r}\)
\(\vec{BD_1} = \vec{q} — \vec{p} + \vec{r}\)
\(\vec{DB_1} = \vec{p} — \vec{q} + \vec{r}\)
Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, построенный на трех некомпланарных векторах \(\vec{p} = \vec{AB}\), \(\vec{q} = \vec{AD}\) и \(\vec{r} = \vec{AA_1}\). Необходимо разложить по этим векторам векторы, образованные диагоналями параллелепипеда.
Для решения данной задачи воспользуемся правилом параллелепипеда:
\(\vec{AC_1} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}\)
\(\vec{CA_1} = -\vec{p} — \vec{q} + \vec{r}\)
\(\vec{BD_1} = \vec{q} — \vec{p} + \vec{r}\)
\(\vec{DB_1} = \vec{p} — \vec{q} + \vec{r}\)
Рассмотрим каждое выражение подробнее:
1. \(\vec{AC_1} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}\)
Вектор \(\vec{AC_1}\) является суммой векторов \(\vec{p}\), \(\vec{q}\) и \(\vec{r}\). Это означает, что вектор \(\vec{AC_1}\) направлен от точки A к точке C₁ и равен векторной сумме \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).
2. \(\vec{CA_1} = -\vec{p} — \vec{q} + \vec{r}\)
Вектор \(\vec{CA_1}\) является разностью векторов \(-\vec{p}\), \(-\vec{q}\) и \(\vec{r}\). Это означает, что вектор \(\vec{CA_1}\) направлен от точки C к точке A₁ и равен векторной разности \(-\vec{AB}\), \(-\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).
3. \(\vec{BD_1} = \vec{q} — \vec{p} + \vec{r}\)
Вектор \(\vec{BD_1}\) является разностью векторов \(\vec{q}\), \(-\vec{p}\) и \(\vec{r}\). Это означает, что вектор \(\vec{BD_1}\) направлен от точки B к точке D₁ и равен векторной разности \(\vec{AD}\), \(-\vec{AB}\) и \(\vec{AA_1}\).
4. \(\vec{DB_1} = \vec{p} — \vec{q} + \vec{r}\)
Вектор \(\vec{DB_1}\) является разностью векторов \(\vec{p}\), \(-\vec{q}\) и \(\vec{r}\). Это означает, что вектор \(\vec{DB_1}\) направлен от точки D к точке B₁ и равен векторной разности \(\vec{AB}\), \(-\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\).
Таким образом, мы получили разложение всех диагональных векторов параллелепипеда по заданным векторам \(\vec{p}\), \(\vec{q}\) и \(\vec{r}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.