Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 626 Атанасян — Подробные Ответы
На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: \(А_1\), \(А_2\), \(А_3\) и \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\), причём \(\vec{A_1A_2} = k \cdot \vec{A_1A_3}\), \(\vec{B_1B_2} = k \cdot \vec{B_1B_3}\). Докажите, что прямые \(A_1B_1\), \(A_2B_2\), \(A_3B_3\) параллельны некоторой плоскости.
Доказательство:
1) \(\vec{A_2B_2} = \vec{A_2A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} = \vec{A_1B_1} — k(\vec{A_1A_3} — \vec{B_1B_3})\) и \(\vec{A_3B_3} = \vec{A_3A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_3} = \vec{A_1B_1} — (\vec{A_1A_3} — \vec{B_1B_3})\)
2) \(\vec{A_2B_2} + \vec{A_3B_3} = 2\vec{A_1B_1} — k\vec{A_1A_3} + k\vec{B_1B_3} — \vec{A_1A_3} + \vec{B_1B_3} = \)
\(=\frac{1}{(k-1)(\vec{A_1A_3} + \vec{B_1B_3})}(\vec{A_2B_2} — \frac{1}{2}\vec{A_3B_3})\)
3) Векторы \(\vec{x}\), \(\vec{A_2B_2}\) и \(\vec{A_3B_3}\) компланарны, и векторы \(\vec{A_1B_1}\) и \(\vec{x}\) коллинеарны, следовательно, прямые \(A_1B_1\), \(A_2B_2\) и \(A_3B_3\) параллельны некоторой плоскости.
Дано: Прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся; точки \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) лежат на прямой \(a\); точки \(B_1\), \(B_2\), \(B_3\) лежат на прямой \(b\); \(\vec{A_1A_2} = k \cdot \vec{A_1A_3}\), \(\vec{B_1B_2} = k \cdot \vec{B_1B_3}\).
Доказательство:
1) Рассмотрим вектор \(\vec{A_2B_2}\):
\(\vec{A_2B_2} = \vec{A_2A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2}\)
Так как \(\vec{A_1A_2} = k \cdot \vec{A_1A_3}\), то \(\vec{A_2A_1} = (1-k)\vec{A_1A_3}\).
Аналогично, \(\vec{B_1B_2} = (1-k)\vec{B_1B_3}\).
Подставляя эти выражения, получаем:
\(\vec{A_2B_2} = (1-k)\vec{A_1A_3} + \vec{A_1B_1} + (1-k)\vec{B_1B_3}\)
\(\vec{A_2B_2} = \vec{A_1B_1} — k(\vec{A_1A_3} — \vec{B_1B_3})\)
2) Рассмотрим вектор \(\vec{A_3B_3}\):
\(\vec{A_3B_3} = \vec{A_3A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_3}\)
Аналогично предыдущему, \(\vec{A_3A_1} = (1-k)\vec{A_1A_3}\).
Подставляя, получаем:
\(\vec{A_3B_3} = (1-k)\vec{A_1A_3} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_3}\)
\(\vec{A_3B_3} = \vec{A_1B_1} — (\vec{A_1A_3} — \vec{B_1B_3})\)
3) Сложим векторы \(\vec{A_2B_2}\) и \(\vec{A_3B_3}\):
\(\vec{A_2B_2} + \vec{A_3B_3} = 2\vec{A_1B_1} — k(\vec{A_1A_3} — \vec{B_1B_3}) — (\vec{A_1A_3} — \vec{B_1B_3})\)
\(\vec{A_2B_2} + \vec{A_3B_3} = 2\vec{A_1B_1} — k\vec{A_1A_3} + k\vec{B_1B_3} — \vec{A_1A_3} + \vec{B_1B_3}\)
\(\vec{A_2B_2} + \vec{A_3B_3} = 2\vec{A_1B_1} — (k-1)(\vec{A_1A_3} + \vec{B_1B_3})\)
\(\vec{A_2B_2} + \vec{A_3B_3} = \frac{1}{(k-1)(\vec{A_1A_3} + \vec{B_1B_3})}(\vec{A_2B_2} — \frac{1}{2}\vec{A_3B_3})\)
4) Из последнего выражения видно, что векторы \(\vec{x}\), \(\vec{A_2B_2}\) и \(\vec{A_3B_3}\) компланарны, а векторы \(\vec{A_1B_1}\) и \(\vec{x}\) коллинеарны. Следовательно, прямые \(A_1B_1\), \(A_2B_2\) и \(A_3B_3\) параллельны некоторой плоскости.
Таким образом, доказано, что прямые \(A_1B_1\), \(A_2B_2\) и \(A_3B_3\) параллельны некоторой плоскости.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.