Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 625 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что векторы \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) компланарны, если: а) один из данных векторов нулевой; б) два из данных векторов коллинеарны.
а) Если вектор \(\vec{p}\) является нулевым, то \(\vec{p} = \vec{0}\). В этом случае векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{p}\) компланарны, так как они лежат в одной плоскости.
б) Если два вектора, например \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), коллинеарны, то они лежат на параллельных прямых. Следовательно, при перемещении векторов \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) так, чтобы они начинались в одной точке, все три вектора будут лежать в одной плоскости, т.е. будут компланарны.
Дано: векторы \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Докажем, что векторы \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) компланарны в следующих случаях:
а) Один из векторов является нулевым:
Пусть вектор \(\vec{p} = \vec{0}\). Тогда вектор \(\vec{p}\) является точкой. Если переместить векторы \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) так, чтобы они начинались в одной общей точке, то они будут лежать в одной плоскости. Следовательно, векторы \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) компланарны.
б) Два вектора коллинеарны:
Пусть векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Это означает, что они лежат на параллельных прямых. Если переместить векторы \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) так, чтобы они начинались в одной общей точке, то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будут лежать на одной прямой. Следовательно, все три вектора \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будут лежать в одной плоскости, т.е. они компланарны.
Таким образом, мы доказали, что векторы \(\vec{p}\), \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) компланарны в случаях, когда:
а) один из векторов является нулевым;
б) два из векторов коллинеарны.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.