Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 624 Атанасян — Подробные Ответы
Три точки \(M\), \(N\) и \(Р\) лежат на одной прямой, а точка \(О\) не лежит на этой прямой. Выразите вектор \(\vec{ОР}\) через векторы \(\vec{ОМ}\) и \(\vec{ON}\), если: а) \(\vec{NP} = 2\vec{MN}\); б) \(\vec{МР} = -\frac{1}{2} \vec{PN}\); в) \(\vec{МР} = k \cdot \vec{MN}\), где \(k\) — данное число.
Решение:
а) \(\vec{ON} = \vec{ОМ} + \vec{MN}\), откуда \(\vec{MN} = \vec{ON} — \vec{ОМ}\); \(\vec{ОР} = \vec{ON} + \vec{NP} = \vec{ON} + 2\vec{MN} = \vec{ON} + 2(\vec{ON} — \vec{ОМ}) = 3\vec{ON} — 2\vec{ОМ}\)
б) \(\vec{МР} = -\frac{1}{2} \vec{PN}\), значит \(\vec{PM} = \vec{MN}\), \(\vec{PM} = -\vec{NM}\), тогда \(2\vec{ОМ} = \vec{ОР} + \vec{PM} + \vec{ON} + \vec{NM}\), откуда \(\vec{ОР} = 2\vec{ОМ} — \vec{ON}\)
в) \(\vec{ON} = \vec{ОМ} + \vec{MN}\) и \(\vec{МР} = k \cdot \vec{MN}\), тогда \(\vec{ОР} = \vec{ON} + \vec{NP} = \vec{ОМ} + \vec{MN} + \vec{NP} = \vec{ОМ} + \vec{МР} = \vec{ОМ} + k \cdot \vec{MN}\); \(\vec{MN} = \vec{MO} + \vec{ON}\), тогда \(\vec{ОР} = \vec{ОМ} + k\vec{MO} + k\vec{ON} = k\vec{ON} + \vec{ОМ} — k\vec{ОМ} = k\vec{ON} + (1-k)\vec{ОМ}\)
Ответ: а) \(3\vec{ON} — 2\vec{ОМ}\); б) \(2\vec{ОМ} — \vec{ON}\); в) \(k\vec{ON} + (1-k)\vec{ОМ}\).
Хорошо, вот пошаговое решение с объяснениями:
Дано: точки \(M\), \(N\) и \(P\) лежат на одной прямой, а точка \(O\) не лежит на этой прямой. Требуется выразить вектор \(\vec{OP}\) через векторы \(\vec{OM}\) и \(\vec{ON}\) в трех случаях:
а) \(\vec{NP} = 2\vec{MN}\)
б) \(\vec{MP} = -\frac{1}{2}\vec{PN}\)
в) \(\vec{MP} = k\cdot\vec{MN}\), где \(k\) — данное число
Решение:
а) Так как \(\vec{ON} = \vec{OM} + \vec{MN}\), то \(\vec{MN} = \vec{ON} — \vec{OM}\). Тогда \(\vec{OP} = \vec{ON} + \vec{NP} = \vec{ON} + 2\vec{MN} = \vec{ON} + 2(\vec{ON} — \vec{OM}) = 3\vec{ON} — 2\vec{OM}\).
б) Так как \(\vec{MP} = -\frac{1}{2}\vec{PN}\), то \(\vec{PM} = \vec{MN}\) и \(\vec{PM} = -\vec{NM}\). Следовательно, \(2\vec{OM} = \vec{OP} + \vec{PM} + \vec{ON} + \vec{NM}\), откуда \(\vec{OP} = 2\vec{OM} — \vec{ON}\).
в) Так как \(\vec{ON} = \vec{OM} + \vec{MN}\) и \(\vec{MP} = k\cdot\vec{MN}\), то \(\vec{OP} = \vec{ON} + \vec{NP} = \vec{OM} + \vec{MN} + \vec{NP} = \vec{OM} + \vec{MP} = \vec{OM} + k\cdot\vec{MN}\). Поскольку \(\vec{MN} = \vec{MO} + \vec{ON}\), то \(\vec{OP} = k\vec{ON} + \vec{OM} — k\vec{OM} = k\vec{ON} + (1-k)\vec{OM}\).
Ответ:
а) \(3\vec{ON} — 2\vec{OM}\)
б) \(2\vec{OM} — \vec{ON}\)
в) \(k\vec{ON} + (1-k)\vec{OM}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.