Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 623 Атанасян — Подробные Ответы
Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(О\). Докажите, что для любой точки \(М\) пространства справедливо неравенство \(МО < \frac{1}{4}(МА + МВ + МС + MD)\).
Доказательство:
1) Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(ВО = ОС\) и \(СО = ОА\), следовательно, \(ВО = -DO\) и \(АО = -СО\).
2) \(MO = MC + CO = MA + AO = MB + BO = MD + DO\).
3) \(4MO = MA + MB + MC + MD\), откуда \(MO = \frac{1}{4}(MA + MB + MC + MD)\).
4) Поскольку векторы \(-MA\), \(-MB\), \(-MC\) и \(-MD\) попарно не сонаправлены, то по доказанному в задаче 350 справедливо неравенство \(|MO| \le \frac{1}{4}(|MA| + |MB| + |MC| + |MD|)\), что и требовалось доказать.
Доказательство:
Дано: параллелограмм \(ABCD\), точка \(M\) в пространстве.
Требуется доказать: \(МО < \frac{1}{4}(МА + МВ + МС + MD)\). Доказательство:
1) Так как \(ABCD\) - параллелограмм, то противоположные стороны \(AB\) и \(CD\), а также \(AD\) и \(BC\) равны и параллельны. Следовательно, \(ВО = ОС\) и \(СО = ОА\), откуда \(ВО = -DO\) и \(АО = -СО\).
2) Рассмотрим вектор \(MO\):
\(MO = MC + CO = MA + AO = MB + BO = MD + DO\)
3) Умножая обе части равенства на 4, получаем:
\(4MO = MA + MB + MC + MD\)
Разделив обе части на 4, получаем:
\(MO = \frac{1}{4}(MA + MB + MC + MD)\)
4) Согласно доказанному в задаче 350, если векторы \(-MA\), \(-MB\), \(-MC\) и \(-MD\) попарно не сонаправлены, то справедливо неравенство:
\(|MO| \le \frac{1}{4}(|MA| + |MB| + |MC| + |MD|)\)
Таким образом, доказано, что \(МО < \frac{1}{4}(МА + МВ + МС + MD)\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.