Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 623 Атанасян — Подробные Ответы
Диагонали параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(О\). Докажите, что для любой точки \(М\) пространства справедливо неравенство \(МО < \frac{1}{4}(МА + МВ + МС + MD)\).
Доказательство:
1) Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(ВО = ОС\) и \(СО = ОА\), следовательно, \(ВО = -DO\) и \(АО = -СО\).
2) \(MO = MC + CO = MA + AO = MB + BO = MD + DO\).
3) \(4MO = MA + MB + MC + MD\), откуда \(MO = \frac{1}{4}(MA + MB + MC + MD)\).
4) Поскольку векторы \(-MA\), \(-MB\), \(-MC\) и \(-MD\) попарно не сонаправлены, то по доказанному в задаче 350 справедливо неравенство \(|MO| \le \frac{1}{4}(|MA| + |MB| + |MC| + |MD|)\), что и требовалось доказать.
Доказательство:
Дано: параллелограмм \(ABCD\), точка \(M\) в пространстве.
Требуется доказать: \(МО < \frac{1}{4}(МА + МВ + МС + MD)\). Доказательство:
1) Так как \(ABCD\) - параллелограмм, то противоположные стороны \(AB\) и \(CD\), а также \(AD\) и \(BC\) равны и параллельны. Следовательно, \(ВО = ОС\) и \(СО = ОА\), откуда \(ВО = -DO\) и \(АО = -СО\).
2) Рассмотрим вектор \(MO\):
\(MO = MC + CO = MA + AO = MB + BO = MD + DO\)
3) Умножая обе части равенства на 4, получаем:
\(4MO = MA + MB + MC + MD\)
Разделив обе части на 4, получаем:
\(MO = \frac{1}{4}(MA + MB + MC + MD)\)
4) Согласно доказанному в задаче 350, если векторы \(-MA\), \(-MB\), \(-MC\) и \(-MD\) попарно не сонаправлены, то справедливо неравенство:
\(|MO| \le \frac{1}{4}(|MA| + |MB| + |MC| + |MD|)\)
Таким образом, доказано, что \(МО < \frac{1}{4}(МА + МВ + МС + MD)\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.