Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 621 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \(А_1\), \(В_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(ВС\), \(АС\) и \(АВ\) треугольника \(АВС\), точка \(О\) — произвольная точка пространства. Докажите, что \(\vec{ОА_1} + \vec{ОВ_1} + \vec{ОС_1} = \vec{ОА} + \vec{ОВ} + \vec{ОС}\).
Решение:
1) \(\vec{ОА_1} = \vec{ОС} + \vec{СА_1} = \vec{ОВ} + \vec{ВА}\), тогда \(2\vec{ОА_1} = \vec{ОС} + \vec{СА_1} + \vec{ОВ} + \vec{ВА}\);
2) \(\vec{СА_1} = -\vec{ВА}\), значит \(2\vec{ОА_1} = \vec{ОС} + \vec{ОВ}\);
3) \(\vec{ОВ_1} = \vec{ОС} + \vec{СВ_1} = \vec{ОА} + \vec{АВ_1}\), тогда \(2\vec{ОВ_1} = \vec{ОС} + \vec{СВ_1} + \vec{ОА} + \vec{АВ_1}\);
4) \(\vec{СВ_1} = -\vec{АВ_1}\), значит \(2\vec{ОВ_1} = \vec{ОС} + \vec{ОА}\);
5) \(\vec{ОС_1} = \vec{ОВ} + \vec{ВС_1} = \vec{ОА} + \vec{АС}\), тогда \(2\vec{ОС_1} = \vec{ОВ} + \vec{ВС_1} + \vec{ОА} + \vec{АС}\);
6) \(\vec{ВС_1} = -\vec{АС}\), значит \(2\vec{ОС_1} = \vec{ОВ} + \vec{ОА}\);
7) Складывая полученные выражения, получаем: \(2(\vec{ОА_1} + \vec{ОВ_1} + \vec{ОС_1}) = 2(\vec{ОА} + \vec{ОВ} + \vec{ОС})\), что и требовалось доказать.
Дано: треугольник \(ABC\), точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(O\) — произвольная точка пространства. Необходимо доказать, что \(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\).
Доказательство:
1) Рассмотрим вектор \(\vec{OA_1}\). Так как \(A_1\) — середина стороны \(BC\), то \(\vec{OA_1} = \vec{OC} + \vec{CA_1} = \vec{OB} + \vec{BA}\). Следовательно, \(2\vec{OA_1} = \vec{OC} + \vec{CA_1} + \vec{OB} + \vec{BA}\).
2) Так как \(\vec{CA_1} = -\vec{BA}\), то \(2\vec{OA_1} = \vec{OC} + \vec{OB}\).
3) Рассмотрим вектор \(\vec{OB_1}\). Так как \(B_1\) — середина стороны \(AC\), то \(\vec{OB_1} = \vec{OC} + \vec{CB_1} = \vec{OA} + \vec{AB_1}\). Следовательно, \(2\vec{OB_1} = \vec{OC} + \vec{CB_1} + \vec{OA} + \vec{AB_1}\).
4) Так как \(\vec{CB_1} = -\vec{AB_1}\), то \(2\vec{OB_1} = \vec{OC} + \vec{OA}\).
5) Рассмотрим вектор \(\vec{OC_1}\). Так как \(C_1\) — середина стороны \(AB\), то \(\vec{OC_1} = \vec{OB} + \vec{BC_1} = \vec{OA} + \vec{AC}\). Следовательно, \(2\vec{OC_1} = \vec{OB} + \vec{BC_1} + \vec{OA} + \vec{AC}\).
6) Так как \(\vec{BC_1} = -\vec{AC}\), то \(2\vec{OC_1} = \vec{OB} + \vec{OA}\).
7) Складывая полученные выражения, получаем:
\(2(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1}) = 2(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\)
Следовательно, \(\vec{OA_1} + \vec{OB_1} + \vec{OC_1} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.