Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 620 Атанасян — Подробные Ответы
Числа \(k\) и \(l\) не равны друг другу. Докажите, что если векторы \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) не коллинеарны, то: а) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны; б) векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
Доказательство:
а) Пусть векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, тогда \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) также будут коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны.
б) Пусть векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) коллинеарны, тогда \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) также будут коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
Доказательство:
Пусть векторы \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) не коллинеарны, где \(k \neq l\). Необходимо доказать, что:
а) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны;
б) векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
а) Доказательство от противного:
Предположим, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Тогда существует число \(n\), такое что \(\vec{a} = n\vec{b}\). Подставляя это выражение в \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\), получаем:
\(\vec{a} + k\vec{b} = n\vec{b} + k\vec{b} = (n + k)\vec{b}\)
\(\vec{a} + l\vec{b} = n\vec{b} + l\vec{b} = (n + l)\vec{b}\)
Так как \(k \neq l\), то векторы \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны.
б) Доказательство от противного:
Предположим, что векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) коллинеарны, где \(k_1 \neq l_1\). Тогда существует число \(n\), такое что \(\vec{a} + k_1\vec{b} = n(\vec{a} + l_1\vec{b})\). Раскрывая это равенство, получаем:
\(\vec{a} + k_1\vec{b} = n\vec{a} + nl_1\vec{b}\)
\(\vec{a} + k_1\vec{b} — n\vec{a} = nl_1\vec{b}\)
\((1 — n)\vec{a} + (k_1 — nl_1)\vec{b} = 0\)
Так как \(k_1 \neq l_1\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что противоречит доказанному в пункте а). Следовательно, векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.