Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 620 Атанасян — Подробные Ответы
Числа \(k\) и \(l\) не равны друг другу. Докажите, что если векторы \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) не коллинеарны, то: а) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны; б) векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
Доказательство:
а) Пусть векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, тогда \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) также будут коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны.
б) Пусть векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) коллинеарны, тогда \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) также будут коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
Доказательство:
Пусть векторы \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) не коллинеарны, где \(k \neq l\). Необходимо доказать, что:
а) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны;
б) векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
а) Доказательство от противного:
Предположим, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Тогда существует число \(n\), такое что \(\vec{a} = n\vec{b}\). Подставляя это выражение в \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\), получаем:
\(\vec{a} + k\vec{b} = n\vec{b} + k\vec{b} = (n + k)\vec{b}\)
\(\vec{a} + l\vec{b} = n\vec{b} + l\vec{b} = (n + l)\vec{b}\)
Так как \(k \neq l\), то векторы \(\vec{a} + k\vec{b}\) и \(\vec{a} + l\vec{b}\) коллинеарны, что противоречит условию. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны.
б) Доказательство от противного:
Предположим, что векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) коллинеарны, где \(k_1 \neq l_1\). Тогда существует число \(n\), такое что \(\vec{a} + k_1\vec{b} = n(\vec{a} + l_1\vec{b})\). Раскрывая это равенство, получаем:
\(\vec{a} + k_1\vec{b} = n\vec{a} + nl_1\vec{b}\)
\(\vec{a} + k_1\vec{b} — n\vec{a} = nl_1\vec{b}\)
\((1 — n)\vec{a} + (k_1 — nl_1)\vec{b} = 0\)
Так как \(k_1 \neq l_1\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что противоречит доказанному в пункте а). Следовательно, векторы \(\vec{a} + k_1\vec{b}\) и \(\vec{a} + l_1\vec{b}\) не коллинеарны при любых неравных числах \(k_1\) и \(l_1\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.