ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 618 Атанасян — Подробные Ответы

Даны треугольники \(ABC\), \(A_1B_1C_1\) и две точки \(О\) и \(Р\) пространства. Известно, что \(\vec{ОА} + \vec{ОР} = \vec{ОА_1}\), \(\vec{ОВ} + \vec{ОР} = \vec{ОВ_1}\), \(\vec{ОС} + \vec{ОР} = \vec{ОС_1}\). Докажите, что стороны треугольника \(A_1B_1C_1\) соответственно равны и параллельны сторонам треугольника \(АВС\).

Доказательство:
1) \(\vec{ОА} + \vec{ОР} = \vec{ОА_1}\), тогда \(\vec{ОР} = \vec{ОА_1} — \vec{ОА} = \vec{АА_1}\);
2) \(\vec{ОВ} + \vec{ОР} = \vec{ОВ_1}\), тогда \(\vec{ОР} = \vec{ОВ_1} — \vec{ОВ} = \vec{ВВ_1}\);
3) \(\vec{ОС} + \vec{ОР} = \vec{ОС_1}\), тогда \(\vec{ОР} = \vec{ОС_1} — \vec{ОС} = \vec{СС_1}\);
4) Таким образом, \(\vec{АА_1} = \vec{ВВ_1} = \vec{СС_1} = \vec{ОР}\), значит \(А_1А_1\), \(В_1В_1\), \(С_1С_1\) — параллелограммы, следовательно треугольники \(АВС\) и \(А_1В_1С_1\) — призматические, и их соответствующие стороны равны и параллельны.

Дано:
— Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\)
— Точки \(O\) и \(P\) в пространстве
— \(\vec{OA} + \vec{OP} = \vec{OA_1}\)
— \(\vec{OB} + \vec{OP} = \vec{OB_1}\)
— \(\vec{OC} + \vec{OP} = \vec{OC_1}\)

Доказательство:
1) Рассмотрим первое равенство: \(\vec{OA} + \vec{OP} = \vec{OA_1}\). Вычитая \(\vec{OA}\) из обеих частей, получаем: \(\vec{OP} = \vec{OA_1} — \vec{OA} = \vec{AA_1}\).
2) Рассмотрим второе равенство: \(\vec{OB} + \vec{OP} = \vec{OB_1}\). Вычитая \(\vec{OB}\) из обеих частей, получаем: \(\vec{OP} = \vec{OB_1} — \vec{OB} = \vec{BB_1}\).
3) Рассмотрим третье равенство: \(\vec{OC} + \vec{OP} = \vec{OC_1}\). Вычитая \(\vec{OC}\) из обеих частей, получаем: \(\vec{OP} = \vec{OC_1} — \vec{OC} = \vec{CC_1}\).
4) Таким образом, мы показали, что \(\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{OP}\). Это означает, что \(A_1A_1\), \(B_1B_1\) и \(C_1C_1\) — параллелограммы.
5) Следовательно, треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) являются призматическими, и их соответствующие стороны равны и параллельны.