Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 614 Атанасян — Подробные Ответы
На рисунке 173 изображён правильный октаэдр. Докажите, что: а) \(\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{DB}\); б) \(\vec{АС} — \vec{CF} = \vec{ЕС}\); в) \(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = 2\vec{AF}\).
а) \(\vec{AB} + \vec{FB} = -\vec{BA} — \vec{BF} = -(\vec{BA} + \vec{BF}) = -\vec{BD} = \vec{DB}\)
б) \(\vec{AC} — \vec{CF} = -\vec{CA} — \vec{CF} = -(\vec{CA} + \vec{CF}) = -\vec{CE} = \vec{EC}\)
в) \(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AC} + \vec{AE}) = \vec{AF} + \vec{AF} = 2\vec{AF}\)
Дано: правильный октаэдр ABCDEF. Докажем следующие утверждения:
а) \(\vec{AB} + \vec{FB} = \vec{DB}\)
Доказательство:
Поскольку ABCDEF — правильный октаэдр, то все его ребра равны. Следовательно, \(\vec{AB} = \vec{FB}\) и \(\vec{BA} = \vec{BF}\). Применяя правило параллелограмма, получаем:
\(\vec{AB} + \vec{FB} = -\vec{BA} — \vec{BF} = -(\vec{BA} + \vec{BF}) = -\vec{BD} = \vec{DB}\)
б) \(\vec{AC} — \vec{CF} = \vec{EC}\)
Доказательство:
Аналогично предыдущему пункту, так как ABCDEF — правильный октаэдр, то \(\vec{AC} = \vec{CF}\) и \(\vec{CA} = \vec{CF}\). Применяя правило параллелограмма, получаем:
\(\vec{AC} — \vec{CF} = -\vec{CA} — \vec{CF} = -(\vec{CA} + \vec{CF}) = -\vec{CE} = \vec{EC}\)
в) \(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = 2\vec{AF}\)
Доказательство:
Рассмотрим сумму векторов \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AE}\):
\(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} + \vec{AE} = (\vec{AB} + \vec{AD}) + (\vec{AC} + \vec{AE}) = \vec{AF} + \vec{AF} = 2\vec{AF}\)
Последнее равенство следует из того, что в правильном октаэдре все рёбра, исходящие из одной вершины, равны между собой.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.