Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 613 Атанасян — Подробные Ответы
Дан параллелепипед \(MNPQM_1N_1P_1Q_1\). Докажите, что: а) \(\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1} + \vec{NP}\); б) \(\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}\); в) \(\vec{Q_1P_1} + \vec{QQ_1} = \vec{QP_1}\).
Решение:
а) \(\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1} + \vec{NP}\) — так как \(MQ = M_1Q_1\) и \(N_1P_1 = NP\), так как противоположные ребра параллелепипеда равны.
б) \(\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}\) — так как \(PQ = NM\) и \(NP_1 = MQ_1\), диагонали равных параллелограммов равны.
в) \(\vec{Q_1P_1} + \vec{QQ_1} = \vec{QP_1}\) — так как \(Q_1P_1 = QP\), что и требовалось доказать.
Дано: параллелепипед \(MNPQM_1N_1P_1Q_1\).
Доказательство:
1) Поскольку \(MNPQM_1N_1P_1Q_1\) является параллелепипедом, то его противоположные грани равны и параллельны. Следовательно, его параллельные ребра также равны.
2) Докажем первое утверждение:
\(\vec{MQ} + \vec{M_1Q_1} = \vec{N_1P_1} + \vec{NP}\)
Так как \(MQ = M_1Q_1\) и \(N_1P_1 = NP\), то сумма векторов \(\vec{MQ}\) и \(\vec{M_1Q_1}\) равна сумме векторов \(\vec{N_1P_1}\) и \(\vec{NP}\).
3) Докажем второе утверждение:
\(\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}\)
Так как \(PQ = NM\) и \(NP_1 = MQ_1\), то диагонали равных параллелограммов \(PQNM\) и \(NP_1MQ_1\) равны, следовательно, \(\vec{PQ} + \vec{NP_1} = \vec{NQ_1}\).
4) Докажем третье утверждение:
\(\vec{Q_1P_1} + \vec{QQ_1} = \vec{QP_1}\)
Так как \(Q_1P_1 = QP\), то сумма векторов \(\vec{Q_1P_1}\) и \(\vec{QQ_1}\) равна вектору \(\vec{QP_1}\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.