Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 612 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре \(ABCD\) точки \(К\) и \(М\) — середины рёбер \(AB\) и \(CD\). Докажите, что середины отрезков \(KC\), \(KD\), \(MA\) и \(МВ\) являются вершинами некоторого параллелограмма
Доказательство:
1) Отметим точками \(F\), \(G\), \(H\) и \(E\) середины отрезков \(KC\), \(BM\), \(KD\) и \(AM\) соответственно.
2) \(FH\) — средняя линия в \(\triangle ADK\), тогда \(FH = \frac{1}{2}DC\) и \(O = FH \cap KM\).
3) \(GE\) — средняя линия в \(\triangle ABM\), тогда \(GE = \frac{1}{2}AB\) и \(O = GE \cap KM\), следовательно, \(O\) — точка пересечения \(FH\) и \(GE\).
4) \(\triangle AFO \sim \triangle ACM\) (так как \(\angle AOF = \angle AMO\) и \(\angle AFO = \angle ACM\) как соответственные), тогда \(\frac{FA}{CA} = \frac{OA}{MA} = \frac{FO}{CM}\), откуда \(CM = 2FO\).
5) \(MD = CM = 2FO = 2OH\), значит \(O\) — середина \(OH\).
6) \(GE\) — средняя линия в \(\triangle ABM\) и \(AK = KB\), тогда \(OE = OG\) и \(O\) — середина \(GE\), следовательно, \(EFGH\) — параллелограмм.
Доказательство:
Дано: тетраэдр \(ABCD\), где точки \(K\) и \(M\) являются серединами рёбер \(AB\) и \(CD\) соответственно. Требуется доказать, что середины отрезков \(KC\), \(KD\), \(MA\) и \(MB\) являются вершинами параллелограмма.
Шаг 1: Отметим точками \(F\), \(G\), \(H\) и \(E\) середины отрезков \(KC\), \(BM\), \(KD\) и \(AM\) соответственно.
Шаг 2: Рассмотрим треугольник \(\triangle ADK\). Так как \(F\) является серединой отрезка \(KC\), то \(FH\) является средней линией в \(\triangle ADK\). Следовательно, \(FH = \frac{1}{2}DC\) и \(O = FH \cap KM\).
Шаг 3: Рассмотрим треугольник \(\triangle ABM\). Так как \(G\) является серединой отрезка \(BM\), то \(GE\) является средней линией в \(\triangle ABM\). Следовательно, \(GE = \frac{1}{2}AB\) и \(O = GE \cap KM\). Таким образом, \(O\) является точкой пересечения \(FH\) и \(GE\).
Шаг 4: Рассмотрим подобные треугольники \(\triangle AFO\) и \(\triangle ACM\). Так как \(\angle AOF = \angle AMO\) и \(\angle AFO = \angle ACM\) (как соответственные углы), то \(\triangle AFO \sim \triangle ACM\). Следовательно, \(\frac{FA}{CA} = \frac{OA}{MA} = \frac{FO}{CM}\), откуда \(CM = 2FO\).
Шаг 5: Так как \(MD = CM = 2FO = 2OH\), то \(O\) является серединой отрезка \(OH\).
Шаг 6: Так как \(GE\) является средней линией в \(\triangle ABM\) и \(AK = KB\), то \(OE = OG\) и \(O\) является серединой отрезка \(GE\). Следовательно, \(EFGH\) является параллелограммом.
Таким образом, мы доказали, что середины отрезков \(KC\), \(KD\), \(MA\) и \(MB\) являются вершинами параллелограмма.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.