Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 611 Атанасян — Подробные Ответы
Отрезки \(AB\) и \(CD\) не лежат в одной плоскости, точки \(М\) и \(N\) — середины этих отрезков. Докажите, что \(MN < \frac{1}{2}(АС + BD)\).
Решение:
1) Так как точка \(М\) — середина отрезка \(АВ\), то \(NM = \frac{1}{2}(NA + NB)\), так как \(AM = -BM\);
2) \(NA = NC + CA\) и \(NB = ND + DB\), следовательно \(NM = (NC + CA + ND + DB)\), \(NC = -ND\), значит \(NM = -(CA + DB)\);
3) Векторы \(CA\) и \(DB\) не коллинеарны (так как \(CD\) и \(AB\) не лежат в одной плоскости, значит точки \(A, B, C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости), тогда \(CA + DB < |CA| + |DB|\) (из соотношения сторон в треугольнике);
4) Таким образом \(MN < (AC + BD)\), что и требовалось доказать.
Дано: отрезки \(AB\) и \(CD\) не лежат в одной плоскости, точки \(M\) и \(N\) — середины этих отрезков.
Доказать: \(MN \le \frac{1}{2}(AC + BD)\).
Доказательство:
1) Так как точка \(M\) — середина отрезка \(AB\), то \(NM = \frac{1}{2}(NA + NB)\), так как \(AM = -BM\). Это следует из определения середины отрезка.
2) \(NA = NC + CA\) и \(NB = ND + DB\), следовательно \(NM = (NC + CA + ND + DB)\). Это следует из того, что точки \(N\) и \(A\), \(N\) и \(B\) являются парами противоположных вершин параллелограмма \(ABCD\).
3) \(NC = -ND\), значит \(NM = -(CA + DB)\). Это следует из того, что векторы \(NC\) и \(ND\) противоположны.
4) Векторы \(CA\) и \(DB\) не коллинеарны (так как \(CD\) и \(AB\) не лежат в одной плоскости, значит точки \(A, B, C\) и \(D\) не лежат в одной плоскости), тогда \(CA + DB < |CA| + |DB|\) (из соотношения сторон в треугольнике). Это следует из неравенства треугольника. 5) Таким образом, \(MN = -(CA + DB) \le |CA| + |DB| = \frac{1}{2}(AC + BD)\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.