ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 610 Атанасян — Подробные Ответы

Точки \(А_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(M_1\) — основания перпендикуляров, проведённых к плоскости \(\alpha\) из вершин треугольника \(АВС\) и из точки \(М\) пересечения медиан этого треугольника (рис. 172). Докажите, что \(ММ_1 = \frac{1}{3}(\vec{АА_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1})\). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника \(АВС\) пересекаются с плоскостью \(\alpha\)?

Доказать, что \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\), даже если стороны ΔАВС пересекаются с плоскостью α.

Доказательство:
1) Точка \(K_1\) — середина \(A_1B_1\), следовательно \(C_1K_1\) — медиана ΔΔΔ.
2) \(M\) лежит на \(CK\), значит \(M_1\) лежит на \(C_1K_1\), аналогично для других медиан.
3) \(MM_1 = MA + AA_1 + A_1M_1 = MB + BB_1 + B_1M_1 = MC + CC_1 +\)
\(+ C_1M_1\).
Суммируя, получаем \(3MM_1 = MA + MB + MC + (A_1M_1 + B_1M_1 + C_1M_1) + AA_1 + BB_1 +\)
\(+ CC_1 = AA_1 + BB_1 + CC_1\).
Следовательно, \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\).

Дано: точки \(A_1, B_1, C_1, D_1\) — основания перпендикуляров, проведенных к плоскости \(\alpha\) из вершин треугольника \(\Delta ABC\) и из точки \(M\) — пересечения медиан этого треугольника.

Доказать: \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\), и это равенство останется верным, даже если какие-то стороны \(\Delta ABC\) пересекаются с плоскостью \(\alpha\).

Доказательство:
1) Пусть \(K\) — середина стороны \(AB\), тогда \(K_1\) — проекция точки \(K\) на плоскость \(\alpha\). Так как \(AK = KB\), то \(A_1K_1 = K_1B_1\), следовательно \(C_1K_1\) — медиана треугольника \(\Delta A_1B_1C_1\).

2) Точка \(M\) лежит на отрезке \(CK\), значит точка \(M_1\) — проекция \(M\) на плоскость \(\alpha\) — лежит на отрезке \(C_1K_1\). Аналогично для других медиан треугольника \(\Delta A_1B_1C_1\), следовательно \(M_1\) — точка пересечения медиан этого треугольника.

3) Рассмотрим векторы:
\(MM_1 = MA + AA_1 + A_1M_1\)
\(MM_1 = MB + BB_1 + B_1M_1\)
\(MM_1 = MC + CC_1 + C_1M_1\)

Суммируя эти равенства, получаем:
\(3MM_1 = (MA + MB + MC) + (A_1M_1 + B_1M_1 + C_1M_1) + (AA_1 +\)
\(+ BB_1 + CC_1)\)

Но сумма векторов с началом в точке пересечения медиан треугольника \(\Delta ABC\) и концами на его вершинах равна нулю. Поэтому:
\(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\)

Таким образом, доказано, что \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 +\)
\(+ BB_1 + CC_1)\), и это равенство останется верным даже если какие-то стороны \(\Delta ABC\) пересекаются с плоскостью \(\alpha\).