Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 610 Атанасян — Подробные Ответы
Точки \(А_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(M_1\) — основания перпендикуляров, проведённых к плоскости \(\alpha\) из вершин треугольника \(АВС\) и из точки \(М\) пересечения медиан этого треугольника (рис. 172). Докажите, что \(ММ_1 = \frac{1}{3}(\vec{АА_1} + \vec{BB_1} + \vec{CC_1})\). Останется ли верным равенство, если какие-то стороны треугольника \(АВС\) пересекаются с плоскостью \(\alpha\)?
Доказать, что \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\), даже если стороны ΔАВС пересекаются с плоскостью α.
Доказательство:
1) Точка \(K_1\) — середина \(A_1B_1\), следовательно \(C_1K_1\) — медиана ΔΔΔ.
2) \(M\) лежит на \(CK\), значит \(M_1\) лежит на \(C_1K_1\), аналогично для других медиан.
3) \(MM_1 = MA + AA_1 + A_1M_1 = MB + BB_1 + B_1M_1 = MC + CC_1 +\)
\(+ C_1M_1\).
Суммируя, получаем \(3MM_1 = MA + MB + MC + (A_1M_1 + B_1M_1 + C_1M_1) + AA_1 + BB_1 +\)
\(+ CC_1 = AA_1 + BB_1 + CC_1\).
Следовательно, \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\).
Дано: точки \(A_1, B_1, C_1, D_1\) — основания перпендикуляров, проведенных к плоскости \(\alpha\) из вершин треугольника \(\Delta ABC\) и из точки \(M\) — пересечения медиан этого треугольника.
Доказать: \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\), и это равенство останется верным, даже если какие-то стороны \(\Delta ABC\) пересекаются с плоскостью \(\alpha\).
Доказательство:
1) Пусть \(K\) — середина стороны \(AB\), тогда \(K_1\) — проекция точки \(K\) на плоскость \(\alpha\). Так как \(AK = KB\), то \(A_1K_1 = K_1B_1\), следовательно \(C_1K_1\) — медиана треугольника \(\Delta A_1B_1C_1\).
2) Точка \(M\) лежит на отрезке \(CK\), значит точка \(M_1\) — проекция \(M\) на плоскость \(\alpha\) — лежит на отрезке \(C_1K_1\). Аналогично для других медиан треугольника \(\Delta A_1B_1C_1\), следовательно \(M_1\) — точка пересечения медиан этого треугольника.
3) Рассмотрим векторы:
\(MM_1 = MA + AA_1 + A_1M_1\)
\(MM_1 = MB + BB_1 + B_1M_1\)
\(MM_1 = MC + CC_1 + C_1M_1\)
Суммируя эти равенства, получаем:
\(3MM_1 = (MA + MB + MC) + (A_1M_1 + B_1M_1 + C_1M_1) + (AA_1 +\)
\(+ BB_1 + CC_1)\)
Но сумма векторов с началом в точке пересечения медиан треугольника \(\Delta ABC\) и концами на его вершинах равна нулю. Поэтому:
\(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 + BB_1 + CC_1)\)
Таким образом, доказано, что \(MM_1 = \frac{1}{3}(AA_1 +\)
\(+ BB_1 + CC_1)\), и это равенство останется верным даже если какие-то стороны \(\Delta ABC\) пересекаются с плоскостью \(\alpha\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.