Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 609 Атанасян — Подробные Ответы
Докажите, что диагональ \(АС_1\) параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) проходит через точки пересечения медиан треугольников \(A_1BD\) и \(CB_1D_1\) и делится этими точками на три равных отрезка (рис. 171).
Решение
Обозначим через \(М_1\) точку пересечения медиан треугольника \(A_1BD\). Применив формулу (5) к тетраэдру \(AA_1BD\), получим \(\vec{АМ_1} = \frac{1}{3}(\vec{АА_1} + \vec{АВ} + \vec{AD})\). По правилу параллелепипеда \(\vec{АА_1} + \vec{АВ} + \vec{AD} = \vec{АС_1}\), поэтому \(\vec{АМ_1} = \frac{1}{3}\vec{АС_1}\). Отсюда следует, что точка \(М_1\) принадлежит диагонали \(AC_1\) и \(АМ_1 = \frac{1}{3}АС_1\).
Точно так же можно доказать, что точка \(М_2\) пересечения медиан треугольника \(CB_1D_1\) принадлежит диагонали \(AC_1\) и \(C_1M_2 = \frac{1}{3}АС_1\).
Из равенств \(АМ_1 = \frac{1}{3}АС_1\) и \(С_1М_2 = \frac{1}{3}АС_1\) следует, что точки \(M_1\) и \(М_2\) делят диагональ \(АС_1\) параллелепипеда на три равных отрезка \(AМ_1\), \(М_1М_2\) и \(М_2C_1\).
Доказательство: Точка \(M_1\) — пересечение медиан треугольника \(A_1BD\), значит \(\vec{AM_1} = \frac{1}{3}(\vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{AD})\). По правилу параллелепипеда \(\vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC_1}\), поэтому \(\vec{AM_1} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}\). Аналогично точка \(M_2\) пересечения медиан треугольника \(CB_1D_1\) принадлежит диагонали \(AC_1\) и \(C_1M_2 = \frac{1}{3}AC_1\). Из равенств \(AM_1 = \frac{1}{3}AC_1\) и \(C_1M_2 = \frac{1}{3}AC_1\) следует, что точки \(M_1\) и \(M_2\) делят диагональ \(AC_1\) на три равных отрезка.
Дано: параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), точки \(M_1\) и \(M_2\) — пересечения медиан треугольников \(A_1BD\) и \(CB_1D_1\) соответственно.
Доказать, что диагональ \(AC_1\) параллелепипеда проходит через точки \(M_1\) и \(M_2\) и делится ими на три равных отрезка.
Решение:
1) Рассмотрим тетраэдр \(AA_1BD\). Согласно формуле для медианы тетраэдра, вектор \(\vec{AM_1}\) является медианой этого тетраэдра и равен \(\vec{AM_1} = \frac{1}{3}(\vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{AD})\).
2) По свойству параллелепипеда, вектор \(\vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC_1}\). Подставляя это выражение в формулу для \(\vec{AM_1}\), получаем \(\vec{AM_1} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}\).
3) Из этого равенства следует, что точка \(M_1\) лежит на диагонали \(AC_1\) и делит её в отношении \(AM_1 : M_1C_1 = 1 : 2\).
4) Аналогично можно показать, что точка \(M_2\) — пересечение медиан треугольника \(CB_1D_1\) — также лежит на диагонали \(AC_1\) и делит её в том же отношении \(M_1M_2 : M_2C_1 = 1 : 2\).
5) Таким образом, точки \(M_1\) и \(M_2\) делят диагональ \(AC_1\) параллелепипеда на три равных отрезка \(AM_1\), \(M_1M_2\) и \(M_2C_1\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.