Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 607 Атанасян — Подробные Ответы
Высоты \(AM\) и \(DN\) правильного тетраэдра \(ABCD\) пересекаются в точке \(К\). Разложите по векторам \(\vec{a} = \vec{DA}\), \(\vec{b} = \vec{DB}\) и \(\vec{c} = \vec{DC}\) вектор: а) \(\vec{DŇ}\); б) \(\vec{DK}\); в) \(\vec{AM}\); г) \(\vec{MK}\).
а) \(\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\)
б) \(\vec{DK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}\)
в) \(\vec{AM} = -\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}\)
г) \(\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} — \frac{1}{4}\vec{b} — \frac{1}{6}\vec{c}\)
Дано: правильный тетраэдр ABCD, высоты AM и DN пересекаются в точке K. Требуется разложить векторы DN, DK, AM и MK по векторам a = DA, b = DB и c = DC.
а) Разложение вектора \(\vec{DN}\):
Поскольку тетраэдр ABCD правильный, то его грани — правильные треугольники. Следовательно, высоты AM и DN являются также медианами. Точка N — произвольная точка пространства, поэтому согласно задаче 366, вектор \(\vec{DN}\) можно представить как:
\(\vec{DN} = \frac{\vec{DA} + \vec{DB} + \vec{DC}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\)
б) Разложение вектора \(\vec{DK}\):
Треугольники AMN и AKD подобны, так как углы NKM и DKA вертикальные, а значит равны. Поэтому \(\frac{KN}{KD} = \frac{NM}{AD}\). Учитывая, что AM и DN — медианы, получаем \(\frac{KN}{KD} = \frac{1}{3}\). Следовательно, \(\vec{DK} = \frac{3}{4}\vec{DN} = \frac{3}{4}\left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{4}\)
в) Разложение вектора \(\vec{AM}\):
Вектор \(\vec{AM}\) можно представить как разность векторов \(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}\) и \(\vec{DB} — \vec{DA} + \vec{DC} — \vec{DA} — \vec{DA}\):
\(\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}}{3} — \frac{\vec{DB} — \vec{DA} + \vec{DC} — \vec{DA} — \vec{DA}}{3} = -\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}\)
г) Разложение вектора \(\vec{MK}\):
Из подобия треугольников AMN и AKD следует, что \(\frac{MK}{MA} = \frac{1}{4}\). Поэтому \(\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{MA} = -\frac{1}{4}\vec{AM} = \frac{1}{4}\vec{a} — \frac{1}{4}\vec{b} — \frac{1}{6}\vec{c}\)
Таким образом, окончательные ответы:
а) \(\vec{DN} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\)
б) \(\vec{DK} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{1}{4}\vec{c}\)
в) \(\vec{AM} = -\vec{a} + \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{c}\)
г) \(\vec{MK} = \frac{1}{4}\vec{a} — \frac{1}{4}\vec{b} — \frac{1}{6}\vec{c}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.