Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 604 Атанасян — Подробные Ответы
В тетраэдре \(ABCD\) медиана \(АА_1\) грани \(АВС\) делится точкой \(К\) так, что \(АК : КА_1 = 3 : 7\). Разложите вектор \(\vec{DK}\) по векторам \(\vec{DA}\), \(\vec{DB}\), \(\vec{DС}\).
Решение:
1) \(АК : КА_1 = 3 : 7\), значит \(АК = \frac{3}{7} \cdot КА_1\)
2) \(\vec{DA} + \vec{AK} = \vec{DK}\) и \(\vec{DK} + \vec{KA_1} = \vec{DA}\), следовательно \(\vec{DK} — \vec{DA} = \vec{AK} = \frac{3}{7} \cdot (
\vec{DA_1} — \vec{DK})\), откуда \(\vec{DK} = \frac{7}{4} \vec{DA} + \frac{3}{4} \vec{DA_1}\)
3) \(\vec{CA_1} = -\vec{BA}\), значит \(\vec{DA_1} = -\frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{DB})\), тогда \(\vec{DK} = \frac{7}{4} \vec{DA} — \frac{3}{8}(\vec{DC} + \vec{DB})\)
Ответ: \(\vec{DK} = 0.7\vec{DA} + 0.15\vec{DC} + 0.15\vec{DB}\)
Дано: тетраэдр \(ABCD\), медиана \(АА_1\) грани \(АВС\), \(АК : КА_1 = 3 : 7\). Требуется разложить вектор \(\vec{DK}\) по векторам \(\vec{DA}\), \(\vec{DB}\) и \(\vec{DC}\).
Решение:
1) Из условия задачи известно, что \(АК : КА_1 = 3 : 7\). Это означает, что точка \(К\) делит медиану \(АА_1\) в отношении \(3 : 7\). Следовательно, можно записать \(АК = \frac{3}{7} \cdot КА_1\).
2) Рассмотрим треугольник \(DAК\). Из определения медианы следует, что \(\vec{DA} + \vec{AK} = \vec{DK}\) и \(\vec{DK} + \vec{KA_1} = \vec{DA}\). Вычитая второе равенство из первого, получаем \(\vec{DK} — \vec{DA} = \vec{AK}\). Подставляя выражение для \(\vec{AK}\), имеем \(\vec{DK} — \vec{DA} = \frac{3}{7} \cdot (\vec{DA_1} — \vec{DK})\). Отсюда \(\vec{DK} = \frac{7}{4} \vec{DA} + \frac{3}{4} \vec{DA_1}\).
3) Найдем выражение для \(\vec{DA_1}\). Из геометрии известно, что \(\vec{CA_1} = -\vec{BA}\). Следовательно, \(\vec{DA_1} = -\frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{DB})\). Подставляя это выражение в формулу для \(\vec{DK}\), получаем \(\vec{DK} = \frac{7}{4} \vec{DA} — \frac{3}{8}(\vec{DC} + \vec{DB})\).
4) Окончательно, раскладывая вектор \(\vec{DK}\) по векторам \(\vec{DA}\), \(\vec{DB}\) и \(\vec{DC}\), имеем:
\(\vec{DK} = 0.7\vec{DA} + 0.15\vec{DC} + 0.15\vec{DB}\)
Ответ: \(\vec{DK} = 0.7\vec{DA} + 0.15\vec{DC} + 0.15\vec{DB}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.