Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 602 Атанасян — Подробные Ответы
Вне плоскости параллелограмма \(ABCD\) взята точка \(О\). Точка \(М\) — середина \(АВ\), а точка \(К\) — середина \(MD\). Разложите векторы \(\vec{ОМ}\) и \(\vec{ОК}\) по векторам \(\vec{a} = \vec{ОА}\), \(\vec{b} = \vec{ОВ}\), \(\vec{c} = \vec{ОС}\).
Решение:
1) \(\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{АМ} = \vec{ОВ} + \vec{ВМ}\)
Так как \(\vec{АМ} = -\vec{ВМ}\), то \(2\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{ОВ}\), откуда \(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{1}{2}\vec{b} + 0\vec{c}\)
2) \(\vec{ОМ} = \vec{ОК} + \vec{КМ}\) и \(\vec{КМ} = \frac{1}{2}\vec{DM}\), значит \(\vec{ОК} + \frac{1}{2}\vec{DM} = \vec{ОМ}\)
3) \(\vec{DM} + \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{0} \Rightarrow \vec{DM} + \frac{1}{2}\vec{а} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\)
4) \(\vec{ОА} + \vec{АВ} = \vec{ОВ}\), откуда \(\vec{АВ} = \vec{ОВ} — \vec{ОА} = \vec{b} — \vec{а}\); \(\vec{ОВ} + \vec{ВС} = \vec{ОС}\), откуда \(\vec{ВС} = \vec{ОС} — \vec{ОВ} = \vec{c} — \vec{b}\); \(\vec{CD} = -\vec{АВ} = \vec{а} — \vec{b}\)
5) Тогда \(\vec{DM} + \frac{1}{2}\vec{а} — \frac{3}{2}\vec{b} + \vec{c} + \vec{а} — \vec{b} = \vec{0}\)
6) Таким образом: \(\vec{ОК} + \frac{1}{2}(2\vec{b} — 2\vec{а} — \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{1}{2}\vec{b}\), откуда \(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)
Ответ: \(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{1}{2}\vec{b} + 0\vec{c}\), \(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)
Дано: параллелограмм \(ABCD\), точка \(О\) вне плоскости параллелограмма, \(AM = MB\), \(MK = KD\). Требуется разложить векторы \(\vec{ОМ}\) и \(\vec{ОК}\) по векторам \(\vec{a} = \vec{ОА}\), \(\vec{b} = \vec{ОВ}\), \(\vec{c} = \vec{ОС}\).
Решение:
1) Найдем вектор \(\vec{ОМ}\):
\(\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{АМ} = \vec{ОВ} + \vec{ВМ}\)
Так как \(\vec{АМ} = -\vec{ВМ}\), то \(2\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{ОВ}\)
Следовательно, \(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}(\vec{а} + \vec{b} + 0\vec{c})\)
2) Найдем вектор \(\vec{ОК}\):
\(\vec{ОМ} = \vec{ОК} + \vec{КМ}\)
\(\vec{КМ} = \frac{1}{2}\vec{DM}\)
Значит, \(\vec{ОК} + \frac{1}{2}\vec{DM} = \vec{ОМ}\)
3) Рассмотрим вектор \(\vec{DM}\):
\(\vec{DM} + \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{0}\)
\(\vec{DM} + \frac{1}{2}\vec{а} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\)
Следовательно, \(\vec{DM} = -\frac{1}{2}\vec{а} — \vec{b} — \vec{c}\)
4) Найдем векторы \(\vec{АВ}\), \(\vec{ВС}\) и \(\vec{CD}\):
\(\vec{ОА} + \vec{АВ} = \vec{ОВ}\), значит \(\vec{АВ} = \vec{b} — \vec{а}\)
\(\vec{ОВ} + \vec{ВС} = \vec{ОС}\), значит \(\vec{ВС} = \vec{c} — \vec{b}\)
\(\vec{CD} = -\vec{АВ} = \vec{а} — \vec{b}\)
5) Подставим выражение для \(\vec{DM}\) в уравнение из пункта 2:
\(\vec{ОК} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\vec{а} — \vec{b} — \vec{c}) = \vec{ОМ}\)
Упростив, получим:
\(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)
Ответ:
\(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}(\vec{а} + \vec{b} + 0\vec{c})\)
\(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.