1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 602 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

Вне плоскости параллелограмма \(ABCD\) взята точка \(О\). Точка \(М\) — середина \(АВ\), а точка \(К\) — середина \(MD\). Разложите векторы \(\vec{ОМ}\) и \(\vec{ОК}\) по векторам \(\vec{a} = \vec{ОА}\), \(\vec{b} = \vec{ОВ}\), \(\vec{c} = \vec{ОС}\).

Краткий ответ:


Решение:
1) \(\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{АМ} = \vec{ОВ} + \vec{ВМ}\)
Так как \(\vec{АМ} = -\vec{ВМ}\), то \(2\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{ОВ}\), откуда \(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{1}{2}\vec{b} + 0\vec{c}\)
2) \(\vec{ОМ} = \vec{ОК} + \vec{КМ}\) и \(\vec{КМ} = \frac{1}{2}\vec{DM}\), значит \(\vec{ОК} + \frac{1}{2}\vec{DM} = \vec{ОМ}\)
3) \(\vec{DM} + \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{0} \Rightarrow \vec{DM} + \frac{1}{2}\vec{а} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\)
4) \(\vec{ОА} + \vec{АВ} = \vec{ОВ}\), откуда \(\vec{АВ} = \vec{ОВ} — \vec{ОА} = \vec{b} — \vec{а}\); \(\vec{ОВ} + \vec{ВС} = \vec{ОС}\), откуда \(\vec{ВС} = \vec{ОС} — \vec{ОВ} = \vec{c} — \vec{b}\); \(\vec{CD} = -\vec{АВ} = \vec{а} — \vec{b}\)
5) Тогда \(\vec{DM} + \frac{1}{2}\vec{а} — \frac{3}{2}\vec{b} + \vec{c} + \vec{а} — \vec{b} = \vec{0}\)
6) Таким образом: \(\vec{ОК} + \frac{1}{2}(2\vec{b} — 2\vec{а} — \vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{1}{2}\vec{b}\), откуда \(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)

Ответ: \(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{1}{2}\vec{b} + 0\vec{c}\), \(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)

Подробный ответ:


Дано: параллелограмм \(ABCD\), точка \(О\) вне плоскости параллелограмма, \(AM = MB\), \(MK = KD\). Требуется разложить векторы \(\vec{ОМ}\) и \(\vec{ОК}\) по векторам \(\vec{a} = \vec{ОА}\), \(\vec{b} = \vec{ОВ}\), \(\vec{c} = \vec{ОС}\).

Решение:
1) Найдем вектор \(\vec{ОМ}\):
\(\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{АМ} = \vec{ОВ} + \vec{ВМ}\)
Так как \(\vec{АМ} = -\vec{ВМ}\), то \(2\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \vec{ОВ}\)
Следовательно, \(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}(\vec{а} + \vec{b} + 0\vec{c})\)

2) Найдем вектор \(\vec{ОК}\):
\(\vec{ОМ} = \vec{ОК} + \vec{КМ}\)
\(\vec{КМ} = \frac{1}{2}\vec{DM}\)
Значит, \(\vec{ОК} + \frac{1}{2}\vec{DM} = \vec{ОМ}\)

3) Рассмотрим вектор \(\vec{DM}\):
\(\vec{DM} + \vec{MB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{0}\)
\(\vec{DM} + \frac{1}{2}\vec{а} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\)
Следовательно, \(\vec{DM} = -\frac{1}{2}\vec{а} — \vec{b} — \vec{c}\)

4) Найдем векторы \(\vec{АВ}\), \(\vec{ВС}\) и \(\vec{CD}\):
\(\vec{ОА} + \vec{АВ} = \vec{ОВ}\), значит \(\vec{АВ} = \vec{b} — \vec{а}\)
\(\vec{ОВ} + \vec{ВС} = \vec{ОС}\), значит \(\vec{ВС} = \vec{c} — \vec{b}\)
\(\vec{CD} = -\vec{АВ} = \vec{а} — \vec{b}\)

5) Подставим выражение для \(\vec{DM}\) в уравнение из пункта 2:
\(\vec{ОК} + \frac{1}{2}(-\frac{1}{2}\vec{а} — \vec{b} — \vec{c}) = \vec{ОМ}\)
Упростив, получим:
\(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)

Ответ:
\(\vec{ОМ} = \frac{1}{2}(\vec{а} + \vec{b} + 0\vec{c})\)
\(\vec{ОК} = \frac{1}{2}\vec{а} + \frac{3}{4}\vec{b} — \frac{1}{4}\vec{c}\)


Исследовательские задачи
Общая оценка
4.1 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.