Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 601 Атанасян — Подробные Ответы
Точка \(К\) — середина ребра \(B_1C_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Разложите вектор \(\vec{АК}\) по векторам \(\vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{b} = \vec{AD}\), \(\vec{c} = \vec{AA_1}\) и найдите длину этого вектора, если ребро куба равно \(m\).
Решение:
1) \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}\) (по правилу параллелограмма)
2) \(\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CC_1} + \vec{C_1K} = \vec{AA_1} = \vec{0}\), следовательно \(\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}\)
3) В прямоугольном треугольнике \(\Delta AA_1K\): \(AA_1 = m\), \(A_1K = \sqrt{m^2 + \left(\frac{1}{2}m\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}m\)
Ответ: \(\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}\), \(|\vec{AK}| = \frac{\sqrt{3}}{2}m\).
Дано: куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), где \(B_1K = KC_1\). Требуется разложить вектор \(\vec{AK}\) по векторам \(\vec{a} = \vec{AB}\), \(\vec{b} = \vec{AD}\), \(\vec{c} = \vec{AA_1}\) и найти длину вектора \(\vec{AK}\), если ребро куба равно \(m\).
Решение:
1) Согласно правилу параллелограмма, вектор \(\vec{AC}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}\)
2) Вектор \(\vec{AK}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{AC}\), \(\vec{CC_1}\) и \(\vec{C_1K}\):
\(\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CC_1} + \vec{C_1K}\)
Поскольку точка \(K\) является серединой ребра \(B_1C_1\), вектор \(\vec{CC_1}\) равен половине вектора \(\vec{b}\):
\(\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{b}\)
Кроме того, вектор \(\vec{C_1K}\) параллелен вектору \(\vec{AA_1}\) и равен ему по модулю:
\(\vec{C_1K} = \vec{AA_1} = \vec{c}\)
Таким образом, вектор \(\vec{AK}\) можно представить как:
\(\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}\)
3) Для нахождения длины вектора \(\vec{AK}\) воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике \(\Delta AA_1K\):
\(AA_1 = m\)
\(A_1K = \sqrt{m^2 + \left(\frac{1}{2}m\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}m\)
Следовательно, длина вектора \(\vec{AK}\) равна:
\(|\vec{AK}| = \sqrt{AA_1^2 + A_1K^2} = \sqrt{m^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}m\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}m\)
Ответ: \(\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \vec{c}\), \(|\vec{AK}| = \frac{\sqrt{3}}{2}m\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.