Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 596 Атанасян — Подробные Ответы
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). а) Разложите вектор \(\vec{BD_1}\) по векторам \(\vec{ВА}\), \(\vec{ВС}\) и \(\vec{ВВ_1}\). б) Разложите вектор \(\vec{B_1D_1}\) по векторам \(\vec{AA_1}\), \(\vec{A_1B}\) и \(\vec{AD_1}\).
а) \(\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1}\)
б) \(\vec{B_1D_1} = \vec{A_1A} — \vec{A_1B} + \vec{A_1D_1}\)
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед.
Найти: Разложить вектор а) \(\vec{BD_1}\) по векторам \(\vec{ВА}\), \(\vec{ВС}\) и \(\vec{ВВ_1}\); б) \(\vec{B_1D_1}\) по векторам \(\vec{A_1A}\), \(\vec{A_1B}\) и \(\vec{A_1D_1}\).
Решение:
а) Для разложения вектора \(\vec{BD_1}\) по векторам \(\vec{ВА}\), \(\vec{ВС}\) и \(\vec{ВВ_1}\) используем правило параллелепипеда. Вектор диагонали параллелепипеда, выходящей из вершины, равен сумме векторов ребер, выходящих из той же вершины. Вектор \(\vec{BD_1}\) является диагональю, выходящей из вершины В. Векторы ребер, выходящих из вершины В, это \(\vec{ВА}\), \(\vec{ВС}\) и \(\vec{ВВ_1}\).
Следовательно, по правилу параллелепипеда: \(\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1}\).
б) Для разложения вектора \(\vec{B_1D_1}\) по векторам \(\vec{A_1A}\), \(\vec{A_1B}\) и \(\vec{A_1D_1}\) начнем с применения правила треугольника к треугольнику \(B_1A_1D_1\). Вектор \(\vec{B_1D_1}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{B_1A_1}\) и \(\vec{A_1D_1}\).
По правилу треугольника: \(\vec{B_1D_1} = \vec{B_1A_1} + \vec{A_1D_1}\).
Теперь необходимо выразить вектор \(\vec{B_1A_1}\) через заданные векторы \(\vec{A_1A}\) и \(\vec{A_1B}\). Рассмотрим грань \(A_1B_1BA\). Это параллелограмм. В параллелограмме \(A_1B_1BA\) вектор \(\vec{B_1A_1}\) равен вектору \(\vec{BA}\). Также в этом параллелограмме вектор \(\vec{B_1B}\) равен вектору \(\vec{A_1A}\).
Применим правило треугольника к треугольнику \(B_1A_1B\): \(\vec{B_1A_1} + \vec{A_1B} = \vec{B_1B}\).
Так как \(\vec{B_1B} = \vec{A_1A}\) (поскольку \(B_1B\) параллельно \(A_1A\) и \(B_1B = A_1A\)), подставим \(\vec{A_1A}\) вместо \(\vec{B_1B}\) в предыдущее равенство:
\(\vec{B_1A_1} + \vec{A_1B} = \vec{A_1A}\).
Выразим из этого равенства вектор \(\vec{B_1A_1}\):
\(\vec{B_1A_1} = \vec{A_1A} — \vec{A_1B}\).
Теперь подставим полученное выражение для \(\vec{B_1A_1}\) в разложение вектора \(\vec{B_1D_1}\):
\(\vec{B_1D_1} = (\vec{A_1A} — \vec{A_1B}) + \vec{A_1D_1}\).
Окончательно получаем: \(\vec{B_1D_1} = \vec{A_1A} — \vec{A_1B} + \vec{A_1D_1}\).
Ответ: а) \(\vec{BD_1} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB_1}\); б) \(\vec{B_1D_1} = \vec{A_1A} — \vec{A_1B} + \vec{A_1D_1}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.