1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по геометрии за 11 класс Учебник 📕 Атанасян — Все Части
Геометрия
11 класс учебник Атанасян
11 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Авторы
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г.
Год
2015-2025
Издательство
Просвещение
Описание

Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?

Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.

Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.

Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.

Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.

Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.

Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.

В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.

ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 594 Атанасян — Подробные Ответы

Задача

Даны параллелограммы \(ABCD\) и \(AB_1C_1D_1\). Докажите, что векторы \(\vec{BB_1}\), \(\vec{CC_1}\) и \(\vec{DD_1}\) компланарны

Краткий ответ:


Из условия следует, что \(\vec{CC_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}\). Так как \(ABCD\) и \(AB_1C_1D_1\) параллелограммы, то \(\vec{CD} = \vec{BA}\) и \(\vec{D_1C_1} = \vec{AB_1}\). Подставляя это в первое равенство, получаем \(\vec{CC_1} = \vec{BA} + \vec{DD_1} + \vec{AB_1}\). Перегруппируем слагаемые: \(\vec{CC_1} = \vec{DD_1} + (\vec{BA} + \vec{AB_1})\). Поскольку \(\vec{BA} + \vec{AB_1} = \vec{BB_1}\), окончательно имеем \(\vec{CC_1} = \vec{DD_1} + \vec{BB_1}\). Это означает, что вектор \(\vec{CC_1}\) является линейной комбинацией векторов \(\vec{BB_1}\) и \(\vec{DD_1}\), следовательно, векторы \(\vec{BB_1}\), \(\vec{CC_1}\) и \(\vec{DD_1}\) компланарны по признаку компланарности трех векторов, что и требовалось доказать.

Подробный ответ:


Дано, что \(ABCD\) и \(AB_1C_1D_1\) являются параллелограммами. Требуется доказать, что векторы \(\vec{BB_1}\), \(\vec{CC_1}\) и \(\vec{DD_1}\) компланарны.

Доказательство начинается с выражения вектора \(\vec{CC_1}\) через другие векторы. Используя правило сложения векторов по ломаной, можно записать, что \(\vec{CC_1} = \vec{CD} + \vec{DD_1} + \vec{D_1C_1}\). Это разложение вектора \(\vec{CC_1}\) на три составляющие вектора вдоль пути от точки \(C\) к точке \(C_1\) через точки \(D\) и \(D_1\).

Далее, используем свойства параллелограммов. В параллелограмме \(ABCD\) противоположные стороны параллельны и равны по длине, что означает равенство соответствующих векторов. Следовательно, вектор \(\vec{CD}\) равен вектору \(\vec{BA}\). Аналогично, в параллелограмме \(AB_1C_1D_1\) противоположные стороны также параллельны и равны, поэтому вектор \(\vec{D_1C_1}\) равен вектору \(\vec{AB_1}\).

Теперь подставим полученные векторные равенства из второго шага в выражение для вектора \(\vec{CC_1}\) из первого шага. Получаем: \(\vec{CC_1} = \vec{BA} + \vec{DD_1} + \vec{AB_1}\).

Перегруппируем слагаемые в этом выражении: \(\vec{CC_1} = \vec{DD_1} + (\vec{BA} + \vec{AB_1})\). Рассмотрим выражение в скобках \(\vec{BA} + \vec{AB_1}\). По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{AB_1}\) равна вектору \(\vec{BB_1}\), то есть \(\vec{BA} + \vec{AB_1} = \vec{BB_1}\).

Подставляя это обратно в выражение для \(\vec{CC_1}\), получаем \(\vec{CC_1} = \vec{DD_1} + \vec{BB_1}\).

Это равенство показывает, что вектор \(\vec{CC_1}\) может быть представлен как линейная комбинация векторов \(\vec{DD_1}\) и \(\vec{BB_1}\) с коэффициентами, равными единице. По признаку компланарности трех векторов, если один из трех векторов может быть выражен через два других как их линейная комбинация, то эти три вектора компланарны. В данном случае, вектор \(\vec{CC_1}\) выражен через векторы \(\vec{BB_1}\) и \(\vec{DD_1}\), следовательно, векторы \(\vec{BB_1}\), \(\vec{CC_1}\) и \(\vec{DD_1}\) компланарны. Это и требовалось доказать.


Исследовательские задачи
Общая оценка
4.5 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как пользоваться ГДЗ

Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.