ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 593 Атанасян — Подробные Ответы

Точки \(E\) и \(F\) — середины рёбер \(AC\) и \(BD\) тетраэдра \(ABCD\). Докажите, что \(2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}\). Компланарны ли векторы \(\vec{FE}\), \(\vec{BA}\) и \(\vec{DC}\)?

Известно, что \(E\) и \(F\) середины \(AC\) и \(BD\) соответственно. Выразим вектор \(\vec{FE}\) двумя способами: \(\vec{FE} = \vec{FD} + \vec{DC} + \vec{CE}\) и \(\vec{FE} = \vec{FB} + \vec{BA} + \vec{AE}\). Сложив эти равенства, получим \(2\vec{FE} = \vec{FD} + \vec{DC} + \vec{CE} + \vec{FB} + \vec{BA} + \vec{AE}\). Поскольку \(F\) середина \(BD\), \(\vec{FD} = -\vec{FB}\). Поскольку \(E\) середина \(AC\), \(\vec{CE} = -\vec{AE}\). Подставляя это в предыдущее равенство, имеем \(2\vec{FE} = -\vec{FB} + \vec{DC} — \vec{AE} + \vec{FB} + \vec{BA} + \vec{AE}\). Сокращая противоположные векторы, получаем \(2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}\). Из этого равенства следует, что \(\vec{FE} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\). Так как вектор \(\vec{FE}\) линейно выражается через векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{DC}\), эти три вектора являются компланарными. Ответ: да.

Рассмотрим тетраэдр \(ABCD\). Нам дано, что точка \(E\) является серединой ребра \(AC\), а точка \(F\) является серединой ребра \(BD\). Требуется доказать, что \(2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}\), и определить, являются ли векторы \(\vec{FE}\), \(\vec{BA}\) и \(\vec{DC}\) компланарными.

Для начала выразим вектор \(\vec{FE}\) через другие векторы, используя правило сложения векторов (правило треугольника или многоугольника). Рассмотрим путь от точки \(F\) к точке \(E\) через точки \(D\) и \(C\). Вектор \(\vec{FE}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{FD}\), \(\vec{DC}\) и \(\vec{CE}\). Таким образом, получаем первое выражение для \(\vec{FE}\): \(\vec{FE} = \vec{FD} + \vec{DC} + \vec{CE}\).

Теперь рассмотрим другой путь от точки \(F\) к точке \(E\), проходящий через точки \(B\) и \(A\). Вектор \(\vec{FE}\) также можно представить как сумму векторов \(\vec{FB}\), \(\vec{BA}\) и \(\vec{AE}\). Получаем второе выражение для \(\vec{FE}\): \(\vec{FE} = \vec{FB} + \vec{BA} + \vec{AE}\).

Сложим оба полученных выражения для вектора \(\vec{FE}\):
\(\vec{FE} + \vec{FE} = (\vec{FD} + \vec{DC} + \vec{CE}) + (\vec{FB} + \vec{BA} + \vec{AE})\)
\(2\vec{FE} = \vec{FD} + \vec{DC} + \vec{CE} + \vec{FB} + \vec{BA} + \vec{AE}\).

Теперь воспользуемся тем, что точки \(E\) и \(F\) являются серединами соответствующих отрезков. Поскольку \(E\) – середина \(AC\), векторы \(\vec{AE}\) и \(\vec{CE}\) равны по модулю и противоположно направлены, то есть \(\vec{CE} = -\vec{AE}\). Аналогично, поскольку \(F\) – середина \(BD\), векторы \(\vec{FB}\) и \(\vec{FD}\) равны по модулю и противоположно направлены, то есть \(\vec{FD} = -\vec{FB}\).

Подставим эти соотношения в выражение для \(2\vec{FE}\):
\(2\vec{FE} = (-\vec{FB}) + \vec{DC} + (-\vec{AE}) + \vec{FB} + \vec{BA} + \vec{AE}\).

Теперь сгруппируем и сократим противоположные векторы:
\(2\vec{FE} = (-\vec{FB} + \vec{FB}) + (\vec{DC}) + (-\vec{AE} + \vec{AE}) + (\vec{BA})\)
\(2\vec{FE} = \vec{0} + \vec{DC} + \vec{0} + \vec{BA}\)
\(2\vec{FE} = \vec{DC} + \vec{BA}\), или \(2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}\).
Это завершает доказательство первого пункта задачи.

Теперь перейдем ко второму пункту: определить, являются ли векторы \(\vec{FE}\), \(\vec{BA}\) и \(\vec{DC}\) компланарными. Из доказанного равенства \(2\vec{FE} = \vec{BA} + \vec{DC}\) мы можем выразить вектор \(\vec{FE}\):
\(\vec{FE} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{DC}\).

Векторы являются компланарными, если один из них может быть представлен как линейная комбинация двух других, то есть если существуют скаляры \(x\) и \(y\) такие, что \(\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}\). В нашем случае мы видим, что вектор \(\vec{FE}\) представлен как линейная комбинация векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{DC}\) с коэффициентами \(x = \frac{1}{2}\) и \(y = \frac{1}{2}\). Поскольку такие скаляры существуют, векторы \(\vec{FE}\), \(\vec{BA}\) и \(\vec{DC}\) лежат в одной плоскости, то есть являются компланарными.

Таким образом, ответ на вопрос о компланарности векторов \(\vec{FE}\), \(\vec{BA}\) и \(\vec{DC}\) – да.