ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 591 Атанасян — Подробные Ответы

Докажите, что если векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны, то не коллинеарны и векторы: а) \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\); б) \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\).

Дано: Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны. Доказать: а) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. б) Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны. Доказательство: а) Докажем от противного. Пусть векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, тогда существует число \(k\) такое, что \(\vec{a} = k\vec{b}\). Отсюда \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{b} + \vec{b} = (k+1)\vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b} = k\vec{b} — \vec{b} = (k-1)\vec{b}\). Если \(\vec{b} \neq \vec{0}\), то векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны вектору \(\vec{b}\), а значит, коллинеарны между собой, что противоречит условию задачи. Если \(\vec{b} = \vec{0}\), то \(\vec{a} = \vec{0}\), и \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}\), \(\vec{a} — \vec{b} = \vec{0}\), которые коллинеарны, что также противоречит условию. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. б) Докажем от противного. Пусть векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны, тогда существует число \(k\) такое, что \(\vec{a} + 2\vec{b} = k(2\vec{a} — \vec{b})\). Раскрывая скобки, получим \(\vec{a} + 2\vec{b} = 2k\vec{a} — k\vec{b}\). Перегруппируем члены: \((2+k)\vec{b} = (2k-1)\vec{a}\). Если \(2k-1 \neq 0\), то \(\vec{a} = \frac{k+2}{2k-1}\vec{b}\). Это означает, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Как показано в пункте а), если \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, то векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны, что противоречит условию задачи. Если \(2k-1 = 0\), то \(k = 1/2\). Подставляя это в \((2+k)\vec{b} = (2k-1)\vec{a}\), получим \((2+1/2)\vec{b} = (2(1/2)-1)\vec{a}\), что дает \(\frac{5}{2}\vec{b} = \vec{0}\). Это возможно только если \(\vec{b} = \vec{0}\). Если \(\vec{b} = \vec{0}\), то из условия следует, что \(\vec{a}\) и \(\vec{a}\) не коллинеарны, что ложно. Таким образом, предположение о коллинеарности векторов \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) приводит к противоречию с условием задачи. Следовательно, векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны.

Дано: Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны.
Доказать: а) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. б) Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны.

Доказательство:

а) Докажем от противного, пусть векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Это означает, что существует такое число \(k\), что \(\vec{a} = k\vec{b}\).
Тогда рассмотрим векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\).
Подставляя \(\vec{a} = k\vec{b}\) в выражение для \(\vec{a} + \vec{b}\), получаем \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{b} + \vec{b} = (k+1)\vec{b}\).
Подставляя \(\vec{a} = k\vec{b}\) в выражение для \(\vec{a} — \vec{b}\), получаем \(\vec{a} — \vec{b} = k\vec{b} — \vec{b} = (k-1)\vec{b}\).
Если \(\vec{b}\) является нулевым вектором (\(\vec{b} = \vec{0}\)), то из \(\vec{a} = k\vec{b}\) следует, что \(\vec{a} = \vec{0}\). В этом случае \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{0}\) и \(\vec{a} — \vec{b} = \vec{0}\), которые являются коллинеарными векторами (любой вектор коллинеарен нулевому вектору, и нулевой вектор коллинеарен любому вектору). Это противоречит данному условию, что векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны.
Если \(\vec{b}\) не является нулевым вектором (\(\vec{b} \neq \vec{0}\)), то векторы \(\vec{a} + \vec{b} = (k+1)\vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b} = (k-1)\vec{b}\) являются векторами, направленными вдоль вектора \(\vec{b}\) (умноженными на скаляры \(k+1\) и \(k-1\)). Векторы, направленные вдоль одного и того же ненулевого вектора, коллинеарны. Следовательно, векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны. Это также противоречит данному условию.
Таким образом, наше исходное предположение о коллинеарности векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) приводит к противоречию с условием задачи. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны.

б) Докажем от противного, пусть векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны. Это означает, что существует такое число \(k\), что \(\vec{a} + 2\vec{b} = k(2\vec{a} — \vec{b})\).
Раскроем скобки в правой части уравнения: \(\vec{a} + 2\vec{b} = 2k\vec{a} — k\vec{b}\).
Сгруппируем члены с \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) по разным сторонам равенства:
\(2\vec{b} + k\vec{b} = 2k\vec{a} — \vec{a}\)
Вынесем общие множители:
\((2+k)\vec{b} = (2k-1)\vec{a}\).
Мы уже доказали в пункте а), что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не коллинеарны. Два не коллинеарных вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) могут быть связаны таким линейным соотношением \((2+k)\vec{b} = (2k-1)\vec{a}\) только в том случае, если коэффициенты при обоих векторах равны нулю. То есть, должно одновременно выполняться:
\(2+k = 0\) и \(2k-1 = 0\).
Из первого уравнения \(2+k = 0\) следует \(k = -2\).
Из второго уравнения \(2k-1 = 0\) следует \(2k = 1\), откуда \(k = 1/2\).
Мы получили, что число \(k\) должно быть одновременно равно \(-2\) и \(1/2\), что невозможно.
Единственный случай, когда \((2+k)\vec{b} = (2k-1)\vec{a}\) может выполняться для не коллинеарных \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) без нулевых коэффициентов, это если один из векторов \(\vec{a}\) или \(\vec{b}\) является нулевым, но мы уже показали в пункте а), что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не могут быть нулевыми одновременно, и если один из них нулевой, то они коллинеарны, что противоречит пункту а).
Следовательно, наше исходное предположение о коллинеарности векторов \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) приводит к тому, что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) должны быть коллинеарны (если хотя бы один из коэффициентов \(2+k\) или \(2k-1\) не равен нулю, то один вектор выражается через другой как \(\vec{a} = \frac{k+2}{2k-1}\vec{b}\) при \(2k-1 \neq 0\) или \(\vec{b} = \frac{2k-1}{k+2}\vec{a}\) при \(k+2 \neq 0\)), что противоречит доказанному в пункте а).
Таким образом, предположение о коллинеарности векторов \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) неверно. Следовательно, векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — \vec{b}\) не коллинеарны.