ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 590 Атанасян — Подробные Ответы

Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны. Докажите, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.

Дано: Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны. Доказать: Коллинеарны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Доказательство: Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны, значит существует такое число \(k\), что \(\vec{a} + 2\vec{b} = k(\vec{a} — 3\vec{b})\). Тогда \(\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{a} — 3k\vec{b}\), что приводит к \(2\vec{b} + 3k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\). Группируя члены, получаем \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\). Отсюда выразим \(\vec{a}\): \(\vec{a} = \frac{2 + 3k}{k — 1}\vec{b}\). Поскольку вектор \(\vec{a}\) выражен через вектор \(\vec{b}\) с помощью скалярного множителя \(\frac{2 + 3k}{k — 1}\) (при условии \(k \neq 1\)), следовательно векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что и требовалось доказать.

Дано, что векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны. Требуется доказать, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.

Доказательство начинается с использования определения коллинеарных векторов. Если два вектора коллинеарны, то один из них может быть представлен как произведение другого вектора на некоторый скаляр. В данном случае, поскольку векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны, существует такое число \(k\) (скаляр), что справедливо равенство \(\vec{a} + 2\vec{b} = k(\vec{a} — 3\vec{b})\). Это равенство выражает тот факт, что один вектор является скалярным кратным другого, что является условием их коллинеарности.

Далее, мы алгебраически преобразуем полученное уравнение для того, чтобы попытаться выразить один из векторов \(\vec{a}\) или \(\vec{b}\) через другой. Раскроем скобки в правой части уравнения: \(\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{a} — 3k\vec{b}\). Теперь соберем все слагаемые, содержащие вектор \(\vec{b}\), в одной части уравнения, а слагаемые, содержащие вектор \(\vec{a}\), в другой части. Перенесем слагаемое \(-3k\vec{b}\) из правой части в левую, изменив его знак на противоположный: \(\vec{a} + 2\vec{b} + 3k\vec{b} = k\vec{a}\). Затем перенесем слагаемое \(\vec{a}\) из левой части в правую, также изменив его знак: \(2\vec{b} + 3k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\).

Теперь вынесем общие множители в левой и правой частях уравнения. В левой части общим множителем является вектор \(\vec{b}\), а в правой части — вектор \(\vec{a}\). Получаем: \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\). Это уравнение связывает векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через скалярные коэффициенты \((2 + 3k)\) и \((k — 1)\).

Наша цель — показать, что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, то есть один является скалярным кратным другого. Из уравнения \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\) мы можем выразить вектор \(\vec{a}\) через вектор \(\vec{b}\), при условии, что коэффициент при \(\vec{a}\) не равен нулю, то есть \(k — 1 \neq 0\), или \(k \neq 1\). Если \(k \neq 1\), разделим обе части уравнения на \((k — 1)\): \(\vec{a} = \frac{2 + 3k}{k — 1}\vec{b}\).

Полученное равенство \(\vec{a} = \frac{2 + 3k}{k — 1}\vec{b}\) показывает, что вектор \(\vec{a}\) является скалярным произведением вектора \(\vec{b}\) на скаляр \(\frac{2 + 3k}{k — 1}\). По определению коллинеарных векторов, если один вектор может быть представлен как скалярное произведение другого вектора, то эти векторы коллинеарны. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.

Рассмотрим также случай, когда \(k = 1\). В этом случае уравнение \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\) примет вид \((2 + 3 \cdot 1)\vec{b} = (1 — 1)\vec{a}\), что упрощается до \(5\vec{b} = 0\vec{a}\), или \(5\vec{b} = \vec{0}\). Это равенство возможно только если \(\vec{b} = \vec{0}\). Если \(\vec{b}\) является нулевым вектором, то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) (нулевой вектор) коллинеарны, поскольку нулевой вектор коллинеарен любому вектору (любой вектор \(\vec{a}\) и нулевой вектор \(\vec{0}\) удовлетворяют условию коллинеарности, так как \(\vec{0} = 0 \cdot \vec{a}\)). Таким образом, даже в случае \(k=1\), когда \(\vec{b} = \vec{0}\), векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) оказываются коллинеарными.

В обоих случаях (когда \(k \neq 1\) и когда \(k = 1\)) мы приходим к выводу, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Это завершает доказательство.