Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 590 Атанасян — Подробные Ответы
Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(2\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны. Докажите, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Дано: Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны. Доказать: Коллинеарны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Доказательство: Векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны, значит существует такое число \(k\), что \(\vec{a} + 2\vec{b} = k(\vec{a} — 3\vec{b})\). Тогда \(\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{a} — 3k\vec{b}\), что приводит к \(2\vec{b} + 3k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\). Группируя члены, получаем \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\). Отсюда выразим \(\vec{a}\): \(\vec{a} = \frac{2 + 3k}{k — 1}\vec{b}\). Поскольку вектор \(\vec{a}\) выражен через вектор \(\vec{b}\) с помощью скалярного множителя \(\frac{2 + 3k}{k — 1}\) (при условии \(k \neq 1\)), следовательно векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что и требовалось доказать.
Дано, что векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны. Требуется доказать, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Доказательство начинается с использования определения коллинеарных векторов. Если два вектора коллинеарны, то один из них может быть представлен как произведение другого вектора на некоторый скаляр. В данном случае, поскольку векторы \(\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{a} — 3\vec{b}\) коллинеарны, существует такое число \(k\) (скаляр), что справедливо равенство \(\vec{a} + 2\vec{b} = k(\vec{a} — 3\vec{b})\). Это равенство выражает тот факт, что один вектор является скалярным кратным другого, что является условием их коллинеарности.
Далее, мы алгебраически преобразуем полученное уравнение для того, чтобы попытаться выразить один из векторов \(\vec{a}\) или \(\vec{b}\) через другой. Раскроем скобки в правой части уравнения: \(\vec{a} + 2\vec{b} = k\vec{a} — 3k\vec{b}\). Теперь соберем все слагаемые, содержащие вектор \(\vec{b}\), в одной части уравнения, а слагаемые, содержащие вектор \(\vec{a}\), в другой части. Перенесем слагаемое \(-3k\vec{b}\) из правой части в левую, изменив его знак на противоположный: \(\vec{a} + 2\vec{b} + 3k\vec{b} = k\vec{a}\). Затем перенесем слагаемое \(\vec{a}\) из левой части в правую, также изменив его знак: \(2\vec{b} + 3k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\).
Теперь вынесем общие множители в левой и правой частях уравнения. В левой части общим множителем является вектор \(\vec{b}\), а в правой части — вектор \(\vec{a}\). Получаем: \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\). Это уравнение связывает векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через скалярные коэффициенты \((2 + 3k)\) и \((k — 1)\).
Наша цель — показать, что \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, то есть один является скалярным кратным другого. Из уравнения \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\) мы можем выразить вектор \(\vec{a}\) через вектор \(\vec{b}\), при условии, что коэффициент при \(\vec{a}\) не равен нулю, то есть \(k — 1 \neq 0\), или \(k \neq 1\). Если \(k \neq 1\), разделим обе части уравнения на \((k — 1)\): \(\vec{a} = \frac{2 + 3k}{k — 1}\vec{b}\).
Полученное равенство \(\vec{a} = \frac{2 + 3k}{k — 1}\vec{b}\) показывает, что вектор \(\vec{a}\) является скалярным произведением вектора \(\vec{b}\) на скаляр \(\frac{2 + 3k}{k — 1}\). По определению коллинеарных векторов, если один вектор может быть представлен как скалярное произведение другого вектора, то эти векторы коллинеарны. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Рассмотрим также случай, когда \(k = 1\). В этом случае уравнение \((2 + 3k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\) примет вид \((2 + 3 \cdot 1)\vec{b} = (1 — 1)\vec{a}\), что упрощается до \(5\vec{b} = 0\vec{a}\), или \(5\vec{b} = \vec{0}\). Это равенство возможно только если \(\vec{b} = \vec{0}\). Если \(\vec{b}\) является нулевым вектором, то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) (нулевой вектор) коллинеарны, поскольку нулевой вектор коллинеарен любому вектору (любой вектор \(\vec{a}\) и нулевой вектор \(\vec{0}\) удовлетворяют условию коллинеарности, так как \(\vec{0} = 0 \cdot \vec{a}\)). Таким образом, даже в случае \(k=1\), когда \(\vec{b} = \vec{0}\), векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) оказываются коллинеарными.
В обоих случаях (когда \(k \neq 1\) и когда \(k = 1\)) мы приходим к выводу, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны. Это завершает доказательство.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.