ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 589 Атанасян — Подробные Ответы

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

Дано: Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны.
Доказать: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Доказательство:
Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны, значит существует такое число \(k\), что \(\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} — \vec{b})\).
Тогда \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} — k\vec{b}\), что приводит к \(\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\).
Группируя члены, получаем \((1 + k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\).
Отсюда \(\vec{a} = \left(\frac{1+k}{k-1}\right)\vec{b}\), следовательно векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что и требовалось доказать.

Дано: Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны.
Доказать: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Доказательство:
По определению коллинеарных векторов, если два вектора коллинеарны, то один из них может быть представлен как произведение другого вектора на некоторое скалярное число. В нашем случае, поскольку векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны, это означает, что существует такое скалярное число \(k\), что выполняется векторное равенство \(\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} — \vec{b})\).

Теперь преобразуем это равенство. Раскроем скобки в правой части уравнения: \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} — k\vec{b}\).
Наша цель — выразить один из векторов, например \(\vec{a}\), через другой вектор \(\vec{b}\) с помощью скалярного множителя. Для этого перенесем все члены, содержащие \(\vec{b}\), в одну сторону равенства, а члены, содержащие \(\vec{a}\), в другую. Перенесем член \(-k\vec{b}\) из правой части в левую, изменив его знак на противоположный, и перенесем член \(\vec{a}\) из левой части в правую, также изменив его знак:
\(\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\).

Теперь вынесем общие множители в обеих частях уравнения. В левой части общий множитель — вектор \(\vec{b}\), а в правой части — вектор \(\vec{a}\). Получаем:
\((1 + k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\).

Если \(k = 1\), то левая часть уравнения становится \((1+1)\vec{b} = 2\vec{b}\), а правая часть \((1-1)\vec{a} = 0\vec{a} = \vec{0}\). Тогда \(2\vec{b} = \vec{0}\), что возможно только если \(\vec{b} = \vec{0}\). Если \(\vec{b} = \vec{0}\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны (любой вектор коллинеарен нулевому вектору).
Если \(k \neq 1\), мы можем разделить обе части уравнения на скаляр \((k — 1)\). Выразим вектор \(\vec{a}\):
\(\vec{a} = \frac{1+k}{k-1}\vec{b}\).

Мы получили, что вектор \(\vec{a}\) равен вектору \(\vec{b}\), умноженному на скаляр \(\frac{1+k}{k-1}\). Это в точности соответствует определению коллинеарных векторов: один вектор является скалярным произведением другого вектора. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.

Таким образом, из условия коллинеарности векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) следует коллинеарность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), что и требовалось доказать.