Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 589 Атанасян — Подробные Ответы
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\).
Дано: Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны.
Доказать: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Доказательство:
Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны, значит существует такое число \(k\), что \(\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} — \vec{b})\).
Тогда \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} — k\vec{b}\), что приводит к \(\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\).
Группируя члены, получаем \((1 + k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\).
Отсюда \(\vec{a} = \left(\frac{1+k}{k-1}\right)\vec{b}\), следовательно векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, что и требовалось доказать.
Дано: Векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны.
Доказать: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Доказательство:
По определению коллинеарных векторов, если два вектора коллинеарны, то один из них может быть представлен как произведение другого вектора на некоторое скалярное число. В нашем случае, поскольку векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарны, это означает, что существует такое скалярное число \(k\), что выполняется векторное равенство \(\vec{a} + \vec{b} = k(\vec{a} — \vec{b})\).
Теперь преобразуем это равенство. Раскроем скобки в правой части уравнения: \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{a} — k\vec{b}\).
Наша цель — выразить один из векторов, например \(\vec{a}\), через другой вектор \(\vec{b}\) с помощью скалярного множителя. Для этого перенесем все члены, содержащие \(\vec{b}\), в одну сторону равенства, а члены, содержащие \(\vec{a}\), в другую. Перенесем член \(-k\vec{b}\) из правой части в левую, изменив его знак на противоположный, и перенесем член \(\vec{a}\) из левой части в правую, также изменив его знак:
\(\vec{b} + k\vec{b} = k\vec{a} — \vec{a}\).
Теперь вынесем общие множители в обеих частях уравнения. В левой части общий множитель — вектор \(\vec{b}\), а в правой части — вектор \(\vec{a}\). Получаем:
\((1 + k)\vec{b} = (k — 1)\vec{a}\).
Если \(k = 1\), то левая часть уравнения становится \((1+1)\vec{b} = 2\vec{b}\), а правая часть \((1-1)\vec{a} = 0\vec{a} = \vec{0}\). Тогда \(2\vec{b} = \vec{0}\), что возможно только если \(\vec{b} = \vec{0}\). Если \(\vec{b} = \vec{0}\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны (любой вектор коллинеарен нулевому вектору).
Если \(k \neq 1\), мы можем разделить обе части уравнения на скаляр \((k — 1)\). Выразим вектор \(\vec{a}\):
\(\vec{a} = \frac{1+k}{k-1}\vec{b}\).
Мы получили, что вектор \(\vec{a}\) равен вектору \(\vec{b}\), умноженному на скаляр \(\frac{1+k}{k-1}\). Это в точности соответствует определению коллинеарных векторов: один вектор является скалярным произведением другого вектора. Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны.
Таким образом, из условия коллинеарности векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{a} — \vec{b}\) следует коллинеарность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.