Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 588 Атанасян — Подробные Ответы
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\).
Дано: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны; Доказать: Коллинеарны векторы: а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\); Доказательство: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны значит существуют такие числа \(k\) и \(n\), что \(\vec{a} = k\vec{c}\) и \(\vec{b} = n\vec{c}\), тогда: а) \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{c} + n\vec{c} = (k+n)\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b} = k\vec{c} — n\vec{c} = (k-n)\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c} + 3n\vec{c} = (k+3n)\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b} = -k\vec{c} + 2n\vec{c} = (2n-k)\vec{c}\); Таким образом, во всех случаях данные векторы коллинеарны вектору \(\vec{c}\), что и требовалось доказать.
Дано: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны, а также векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны.
Доказать: Векторы а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны.
Доказательство:
По определению коллинеарных векторов, если два ненулевых вектора коллинеарны, то один из них может быть представлен как произведение другого вектора на некоторое число (скаляр).
Поскольку векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны, существует такое число \(k\), что \(\vec{a} = k\vec{c}\).
Аналогично, поскольку векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны, существует такое число \(n\), что \(\vec{b} = n\vec{c}\).
Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:
а) Для векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{c} + n\vec{c}\).
Используя свойство дистрибутивности векторного сложения относительно умножения на скаляр, вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(\vec{a} + \vec{b} = (k + n)\vec{c}\).
Поскольку \(k\) и \(n\) — это числа, их сумма \((k + n)\) также является числом. Обозначим это число как \(m_1 = k+n\). Тогда \(\vec{a} + \vec{b} = m_1\vec{c}\).
Это означает, что вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) может быть представлен как произведение вектора \(\vec{c}\) на число \(m_1\). Следовательно, векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны.
б) Для векторов \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(\vec{a} — \vec{b} = k\vec{c} — n\vec{c}\).
Вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(\vec{a} — \vec{b} = (k — n)\vec{c}\).
Разность чисел \(k\) и \(n\), \((k — n)\), также является числом. Обозначим его как \(m_2 = k-n\). Тогда \(\vec{a} — \vec{b} = m_2\vec{c}\).
Это показывает, что вектор \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарен вектору \(\vec{c}\).
в) Для векторов \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c} + 3(n\vec{c})\).
Используя свойство ассоциативности умножения на скаляр:
\(\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c} + (3n)\vec{c}\).
Вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(\vec{a} + 3\vec{b} = (k + 3n)\vec{c}\).
Сумма числа \(k\) и произведения чисел \(3\) и \(n\), \((k + 3n)\), является числом. Обозначим его как \(m_3 = k+3n\). Тогда \(\vec{a} + 3\vec{b} = m_3\vec{c}\).
Следовательно, вектор \(\vec{a} + 3\vec{b}\) коллинеарен вектору \(\vec{c}\).
г) Для векторов \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(-\vec{a} + 2\vec{b} = -(k\vec{c}) + 2(n\vec{c})\).
Используя свойства умножения на скаляр:
\(-\vec{a} + 2\vec{b} = (-k)\vec{c} + (2n)\vec{c}\).
Вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(-\vec{a} + 2\vec{b} = (-k + 2n)\vec{c}\).
Сумма чисел \(-k\) и \(2n\), \((-k + 2n)\), является числом. Обозначим его как \(m_4 = 2n-k\). Тогда \(-\vec{a} + 2\vec{b} = m_4\vec{c}\).
Таким образом, вектор \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) коллинеарен вектору \(\vec{c}\).
В каждом из рассмотренных случаев мы показали, что заданный вектор может быть представлен как произведение вектора \(\vec{c}\) на некоторое число. Это является достаточным условием коллинеарности векторов.
Следовательно, во всех случаях данные векторы коллинеарны вектору \(\vec{c}\), что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.