ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 588 Атанасян — Подробные Ответы

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны. Докажите, что коллинеарны векторы: а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\).

Дано: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны; Доказать: Коллинеарны векторы: а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\); Доказательство: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а также \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны значит существуют такие числа \(k\) и \(n\), что \(\vec{a} = k\vec{c}\) и \(\vec{b} = n\vec{c}\), тогда: а) \(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{c} + n\vec{c} = (k+n)\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b} = k\vec{c} — n\vec{c} = (k-n)\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c} + 3n\vec{c} = (k+3n)\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b} = -k\vec{c} + 2n\vec{c} = (2n-k)\vec{c}\); Таким образом, во всех случаях данные векторы коллинеарны вектору \(\vec{c}\), что и требовалось доказать.

Дано: Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны, а также векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны.
Доказать: Векторы а) \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\); б) \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\); в) \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\); г) \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны.

Доказательство:
По определению коллинеарных векторов, если два ненулевых вектора коллинеарны, то один из них может быть представлен как произведение другого вектора на некоторое число (скаляр).
Поскольку векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны, существует такое число \(k\), что \(\vec{a} = k\vec{c}\).
Аналогично, поскольку векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны, существует такое число \(n\), что \(\vec{b} = n\vec{c}\).

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:
а) Для векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(\vec{a} + \vec{b} = k\vec{c} + n\vec{c}\).
Используя свойство дистрибутивности векторного сложения относительно умножения на скаляр, вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(\vec{a} + \vec{b} = (k + n)\vec{c}\).
Поскольку \(k\) и \(n\) — это числа, их сумма \((k + n)\) также является числом. Обозначим это число как \(m_1 = k+n\). Тогда \(\vec{a} + \vec{b} = m_1\vec{c}\).
Это означает, что вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) может быть представлен как произведение вектора \(\vec{c}\) на число \(m_1\). Следовательно, векторы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\) коллинеарны.

б) Для векторов \(\vec{a} — \vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(\vec{a} — \vec{b} = k\vec{c} — n\vec{c}\).
Вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(\vec{a} — \vec{b} = (k — n)\vec{c}\).
Разность чисел \(k\) и \(n\), \((k — n)\), также является числом. Обозначим его как \(m_2 = k-n\). Тогда \(\vec{a} — \vec{b} = m_2\vec{c}\).
Это показывает, что вектор \(\vec{a} — \vec{b}\) коллинеарен вектору \(\vec{c}\).

в) Для векторов \(\vec{a} + 3\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c} + 3(n\vec{c})\).
Используя свойство ассоциативности умножения на скаляр:
\(\vec{a} + 3\vec{b} = k\vec{c} + (3n)\vec{c}\).
Вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(\vec{a} + 3\vec{b} = (k + 3n)\vec{c}\).
Сумма числа \(k\) и произведения чисел \(3\) и \(n\), \((k + 3n)\), является числом. Обозначим его как \(m_3 = k+3n\). Тогда \(\vec{a} + 3\vec{b} = m_3\vec{c}\).
Следовательно, вектор \(\vec{a} + 3\vec{b}\) коллинеарен вектору \(\vec{c}\).

г) Для векторов \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) и \(\vec{c}\):
Подставим выражения для \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) через \(\vec{c}\):
\(-\vec{a} + 2\vec{b} = -(k\vec{c}) + 2(n\vec{c})\).
Используя свойства умножения на скаляр:
\(-\vec{a} + 2\vec{b} = (-k)\vec{c} + (2n)\vec{c}\).
Вынесем вектор \(\vec{c}\) за скобки:
\(-\vec{a} + 2\vec{b} = (-k + 2n)\vec{c}\).
Сумма чисел \(-k\) и \(2n\), \((-k + 2n)\), является числом. Обозначим его как \(m_4 = 2n-k\). Тогда \(-\vec{a} + 2\vec{b} = m_4\vec{c}\).
Таким образом, вектор \(-\vec{a} + 2\vec{b}\) коллинеарен вектору \(\vec{c}\).

В каждом из рассмотренных случаев мы показали, что заданный вектор может быть представлен как произведение вектора \(\vec{c}\) на некоторое число. Это является достаточным условием коллинеарности векторов.
Следовательно, во всех случаях данные векторы коллинеарны вектору \(\vec{c}\), что и требовалось доказать.