Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 587 Атанасян — Подробные Ответы
Известно, что \(|\vec{p}| = |\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|\), причём векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) попарно не сонаправлены. Докажите, что \(|\vec{p}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|\).
Пусть \(\vec{AB} = \vec{a}\), \(\vec{BC} = \vec{b}\), \(\vec{CD} = \vec{c}\). Тогда сумма векторов \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\) равна вектору \(\vec{AD}\), то есть \(\vec{p} = \vec{AD}\). Поскольку векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) попарно не сонаправлены, точки A, B, C и D не лежат на одной прямой и образуют четырехугольник ABCD. Из неравенства многоугольника следует, что длина стороны AD меньше суммы длин сторон AB, BC и CD, то есть \(|\vec{AD}| < |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CD}|\). Подставляя соответствующие векторы, получаем \(|\vec{p}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|\), что и требовалось доказать.
Дано: векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\), \(\vec{p}\) такие, что \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\). Также известно, что векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) попарно не сонаправлены. Требуется доказать неравенство \(|\vec{p}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|\). Для доказательства воспользуемся геометрическим представлением сложения векторов. Векторы можно перемещать параллельно самим себе так, чтобы начало одного вектора совпадало с концом другого. Пусть точка A является началом вектора \(\vec{a}\). Отложим от точки A вектор \(\vec{AB} = \vec{a}\).
Затем от конца вектора \(\vec{AB}\), то есть от точки B, отложим вектор \(\vec{BC} = \vec{b}\).
Далее от конца вектора \(\vec{BC}\), то есть от точки C, отложим вектор \(\vec{CD} = \vec{c}\). Согласно правилу сложения векторов, сумма векторов \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\) равна вектору, идущему из начала первого вектора (точки A) в конец последнего вектора (точки D). Таким образом, \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\).
По условию задачи, \(\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\). Подставляя наши обозначения, получаем \(\vec{p} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\).
Следовательно, \(\vec{AD} = \vec{p}\). Поскольку векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) попарно не сонаправлены, точки A, B, C и D не лежат на одной прямой. Если бы, например, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) были сонаправлены, то точки A, B, C могли бы лежать на одной прямой. Если бы \(\vec{a} + \vec{b}\) и \(\vec{c}\) были сонаправлены, то точки A, C, D могли бы лежать на одной прямой. Условие попарной несонаправленности гарантирует, что точки A, B, C, D образуют невырожденный четырехугольник ABCD. Для любого многоугольника (в данном случае четырехугольника ABCD) длина одной стороны всегда меньше или равна сумме длин остальных сторон. Это утверждение является обобщением неравенства треугольника. Для нашего четырехугольника ABCD справедливо неравенство: длина стороны AD меньше суммы длин сторон AB, BC и CD.
В символьной записи это выглядит так: \(|\vec{AD}| \le |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CD}|\). Так как точки A, B, C, D не лежат на одной прямой (из-за попарной несонаправленности векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\)), четырехугольник ABCD не является вырожденным. В невырожденном многоугольнике длина одной стороны строго меньше суммы длин остальных сторон. Поэтому мы можем использовать строгое неравенство: \(|\vec{AD}| < |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{CD}|\). Подставляя обратно векторы, соответствующие сторонам, получаем:
\(|\vec{p}| < |\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}|\). Таким образом, мы доказали, что длина вектора \(\vec{p}\) строго меньше суммы длин векторов \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.