ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 586 Атанасян — Подробные Ответы

Три точки \(А\), \(В\) и \(М\) удовлетворяют условию \(\vec{АМ} = \lambda \cdot \vec{МВ}\), где \(\lambda \neq -1\). Докажите, что эти точки лежат на одной прямой и для любой точки \(О\) пространства выполняется равенство \(\vec{ОМ} = \frac{\vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}}{1 + \lambda}\).
Решение
Из равенства \(\vec{АМ} = \lambda \cdot \vec{МВ}\) следует, что векторы \(\vec{АМ}\) и \(\vec{МВ}\) коллинеарны, поэтому прямые \(АМ\) и \(МВ\) либо параллельны, либо совпадают. Так как эти прямые имеют общую точку \(М\), то они совпадают, и, следовательно, точки \(А\), \(В\) и \(М\) лежат на одной прямой. Поскольку \(\vec{АМ} = \vec{ОМ} — \vec{ОА}\), \(\vec{МВ} = \vec{ОВ} — \vec{ОМ}\), то из равенства \(\vec{АМ} = \lambda \cdot \vec{МВ}\) имеем \(\vec{ОМ} — \vec{ОА} = \lambda(\vec{ОВ} — \vec{ОМ})\), или \((1 + \lambda)\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}\). Отсюда, разделив на \(1 + \lambda\), получаем искомое равенство.

Три точки \(А\), \(В\), \(М\) удовлетворяют условию \(\vec{АМ} = \lambda \cdot \vec{МВ}\), \(\lambda \neq -1\). Из этого следует, что векторы \(\vec{АМ}\) и \(\vec{МВ}\) коллинеарны, а поскольку у них есть общая точка \(М\), то точки \(А\), \(В\) и \(М\) лежат на одной прямой. Используя формулы для векторов \(\vec{АМ} = \vec{ОМ} — \vec{ОА}\) и \(\vec{МВ} = \vec{ОВ} — \vec{ОМ}\), подставим их в исходное равенство: \(\vec{ОМ} — \vec{ОА} = \lambda(\vec{ОВ} — \vec{ОМ})\). Раскрывая скобки и группируя члены с \(\vec{ОМ}\), получаем \((1 + \lambda)\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}\). Разделив обе части на \((1 + \lambda)\) (что возможно, так как \(\lambda \neq -1\)), получаем \(\vec{ОМ} = \frac{\vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}}{1 + \lambda}\), что и требовалось доказать.

Дано: Три точки \(А\), \(В\), \(М\) и равенство \(\vec{АМ} = \lambda \cdot \vec{МВ}\), где \(\lambda \neq -1\).
Требуется доказать, что точки \(А\), \(В\), \(М\) лежат на одной прямой и что для любой точки \(О\) пространства справедливо равенство \(\vec{ОМ} = \frac{\vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}}{1 + \lambda}\).

Доказательство:
Из данного равенства \(\vec{АМ} = \lambda \cdot \vec{МВ}\) следует, что вектор \(\vec{АМ}\) является произведением скаляра \(\lambda\) на вектор \(\vec{МВ}\). По определению коллинеарных векторов, это означает, что векторы \(\vec{АМ}\) и \(\vec{МВ}\) коллинеарны. Коллинеарные векторы лежат либо на параллельных прямых, либо на одной прямой. Таким образом, прямые \(АМ\) и \(МВ\) либо параллельны, либо совпадают.

Далее, поскольку прямые \(АМ\) и \(МВ\) имеют общую точку \(М\), они не могут быть параллельными. Следовательно, эти прямые совпадают. Если точки \(А\), \(М\) лежат на прямой \(АМ\), и точки \(М\), \(В\) лежат на прямой \(МВ\), а прямые \(АМ\) и \(МВ\) совпадают, то все три точки \(А\), \(В\), \(М\) лежат на одной прямой. Это завершает первую часть доказательства.

Теперь докажем вторую часть равенства для любой точки \(О\) пространства. Вектор \(\vec{АМ}\) может быть выражен как разность радиус-вектора точки \(М\) и радиус-вектора точки \(А\) относительно точки \(О\), то есть \(\vec{АМ} = \vec{ОМ} — \vec{ОА}\). Аналогично, вектор \(\vec{МВ}\) может быть выражен как разность радиус-вектора точки \(В\) и радиус-вектора точки \(М\) относительно точки \(О\), то есть \(\vec{МВ} = \vec{ОВ} — \vec{ОМ}\).

Подставим эти выражения для \(\vec{АМ}\) и \(\vec{МВ}\) в исходное равенство \(\vec{АМ} = \lambda \cdot \vec{МВ}\):
\(\vec{ОМ} — \vec{ОА} = \lambda \cdot (\vec{ОВ} — \vec{ОМ})\).

Раскроем скобки в правой части уравнения:
\(\vec{ОМ} — \vec{ОА} = \lambda \cdot \vec{ОВ} — \lambda \cdot \vec{ОМ}\).

Теперь соберем все члены, содержащие \(\vec{ОМ}\), в одной части уравнения, а остальные члены — в другой. Перенесем член \(-\lambda \cdot \vec{ОМ}\) из правой части в левую, изменив знак, и член \(-\vec{ОА}\) из левой части в правую, также изменив знак:
\(\vec{ОМ} + \lambda \cdot \vec{ОМ} = \vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}\).

Вынесем общий множитель \(\vec{ОМ}\) в левой части:
\((1 + \lambda)\vec{ОМ} = \vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}\).

По условию дано, что \(\lambda \neq -1\), следовательно, \(1 + \lambda \neq 0\). Мы можем разделить обе части уравнения на скаляр \((1 + \lambda)\):
\(\vec{ОМ} = \frac{\vec{ОА} + \lambda \cdot \vec{ОВ}}{1 + \lambda}\).

Таким образом, мы получили требуемое равенство, что завершает доказательство.