Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 584 Атанасян — Подробные Ответы
Упростите: а) \(2(\vec{m} + \vec{n}) — 3(4\vec{m} — \vec{n}) + \vec{m}\); б) \(\vec{m} — 3(\vec{n} — 2\vec{m} + \vec{p}) + 5(\vec{p} — 4\vec{m})\).
а) \(2(\vec{m} + \vec{n}) — 3(4\vec{m} — \vec{n}) + \vec{m} = 2\vec{m} + 2\vec{n} — 12\vec{m} + 3\vec{n} + \vec{m} = 5\vec{n} — 9\vec{m}\)
б) \(\vec{m} — 3(\vec{n} — 2\vec{m} + \vec{p}) + 5(\vec{p} — 4\vec{m}) = \vec{m} — 3\vec{n} + 6\vec{m} — 3\vec{p} + 5\vec{p} — 20\vec{m} =\)
\(= 2\vec{p} — 13\vec{m} — 3\vec{n}\)
Для упрощения выражений воспользуемся свойством умножения вектора на число и свойством сложения векторов.
Сначала рассмотрим выражение из пункта а): \(2(\vec{m} + \vec{n}) — 3(4\vec{m} — \vec{n}) + \vec{m}\).
Первым шагом раскроем скобки, умножив скаляр на каждый вектор внутри скобок. Для первой скобки умножим 2 на \(\vec{m}\) и на \(\vec{n}\), получим \(2\vec{m} + 2\vec{n}\). Для второй скобки умножим -3 на \(4\vec{m}\) и на \(-\vec{n}\), получим \(-12\vec{m} + 3\vec{n}\).
Таким образом, выражение примет вид: \(2\vec{m} + 2\vec{n} — 12\vec{m} + 3\vec{n} + \vec{m}\).
Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые векторы. Сгруппируем слагаемые с \(\vec{m}\): \(2\vec{m} — 12\vec{m} + \vec{m}\). Сложим их коэффициенты: \(2 — 12 + 1 = -9\). Получим \(-9\vec{m}\).
Сгруппируем слагаемые с \(\vec{n}\): \(2\vec{n} + 3\vec{n}\). Сложим их коэффициенты: \(2 + 3 = 5\). Получим \(5\vec{n}\).
Объединяя сгруппированные слагаемые, получаем упрощенное выражение: \(5\vec{n} — 9\vec{m}\).
Теперь рассмотрим выражение из пункта б): \(\vec{m} — 3(\vec{n} — 2\vec{m} + \vec{p}) + 5(\vec{p} — 4\vec{m})\).
Первым шагом также раскроем скобки. Для первой скобки умножим -3 на \(\vec{n}\), на \(-2\vec{m}\) и на \(\vec{p}\), получим \(-3\vec{n} + 6\vec{m} — 3\vec{p}\). Для второй скобки умножим 5 на \(\vec{p}\) и на \(-4\vec{m}\), получим \(5\vec{p} — 20\vec{m}\).
Таким образом, выражение примет вид: \(\vec{m} — 3\vec{n} + 6\vec{m} — 3\vec{p} + 5\vec{p} — 20\vec{m}\).
Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие одинаковые векторы. Сгруппируем слагаемые с \(\vec{m}\): \(\vec{m} + 6\vec{m} — 20\vec{m}\). Сложим их коэффициенты: \(1 + 6 — 20 = -13\). Получим \(-13\vec{m}\).
Сгруппируем слагаемые с \(\vec{n}\): \(-3\vec{n}\). Здесь только одно такое слагаемое. Получим \(-3\vec{n}\).
Сгруппируем слагаемые с \(\vec{p}\): \(-3\vec{p} + 5\vec{p}\). Сложим их коэффициенты: \(-3 + 5 = 2\). Получим \(2\vec{p}\).
Объединяя сгруппированные слагаемые, получаем упрощенное выражение: \(2\vec{p} — 13\vec{m} — 3\vec{n}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.