Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 577 Атанасян — Подробные Ответы
Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Укажите вектор \(\vec{x}\), начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) \(\vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{x} = \vec{BA}\); б) \(\vec{AC_1} — \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}\); в) \(\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{BC_1}\).
Решение: а) из \(\vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{x} = \vec{BA}\) следует \(\vec{x} = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{BA} = \vec{BB_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB} = \vec{AC}\); б) из \(\vec{AC_1} — \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}\) следует \(\vec{x} = \vec{AB} — \vec{AC_1} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{C_1A} + \vec{BB_1} = \vec{C_1A} + \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{C_1B_1}\); в) из \(\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{x} + \vec{BC_1}\) следует \(2\vec{x} = \vec{AC} — \vec{AB_1} + \vec{BC_1} = (\vec{B_1A} + \vec{AC}) + \vec{BC_1} = \vec{B_1C} + \vec{BC_1} = (\vec{B_1B} +\)
\(+ \vec{BC}) + (\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}) = (\vec{B_1B} + \vec{BB_1}) + \vec{BC} + \vec{B_1C_1} = \vec{0} + \vec{BC} + \vec{BC} = \)
\(= 2\vec{BC}\), следовательно \(\vec{x} =\vec{BC}\).
Ответ: а) \(\vec{AC}\); б) \(\vec{C_1B_1}\); в) \(\vec{BC}\).
Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Требуется найти вектор \(\vec{x}\), начало и конец которого являются вершинами призмы, удовлетворяющий заданным уравнениям.
а) Уравнение: \(\vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{x} = \vec{BA}\).
Чтобы найти вектор \(\vec{x}\), выразим его из данного уравнения:
\(\vec{x} = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{BA}\).
Вектор \(\vec{BA}\) противоположен вектору \(\vec{AB}\), то есть \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). Подставим это в выражение для \(\vec{x}\):
\(\vec{x} = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} — (-\vec{AB}) = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB}\).
В треугольной призме боковые ребра параллельны и равны по длине, поэтому вектор \(\vec{АА_1}\) равен вектору \(\vec{BB_1}\). Заменим \(\vec{АА_1}\) на \(\vec{BB_1}\):
\(\vec{x} = \vec{BB_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB}\).
Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать правило сложения векторов по треугольнику:
\(\vec{x} = \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1C}\).
Сначала сложим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BB_1}\). По правилу треугольника \(\vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}\). Тогда выражение для \(\vec{x}\) примет вид:
\(\vec{x} = \vec{AB_1} + \vec{B_1C}\).
Теперь сложим векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{B_1C}\). По правилу треугольника \(\vec{AB_1} + \vec{B_1C} = \vec{AC}\).
Таким образом, \(\vec{x} = \vec{AC}\).
б) Уравнение: \(\vec{AC_1} — \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}\).
Выразим вектор \(\vec{x}\) из данного уравнения:
\(\vec{x} = \vec{AB} — \vec{AC_1} + \vec{BB_1}\).
Разность векторов \(\vec{AB} — \vec{AC_1}\) можно представить как сумму \(\vec{AB} + (-\vec{AC_1})\). Вектор \(-\vec{AC_1}\) противоположен вектору \(\vec{AC_1}\), то есть \(-\vec{AC_1} = \vec{C_1A}\). Подставим это:
\(\vec{x} = \vec{AB} + \vec{C_1A} + \vec{BB_1}\).
Перегруппируем слагаемые:
\(\vec{x} = \vec{C_1A} + \vec{AB} + \vec{BB_1}\).
Сложим векторы \(\vec{C_1A}\) и \(\vec{AB}\). По правилу треугольника \(\vec{C_1A} + \vec{AB} = \vec{C_1B}\). Тогда:
\(\vec{x} = \vec{C_1B} + \vec{BB_1}\).
Теперь сложим векторы \(\vec{C_1B}\) и \(\vec{BB_1}\). По правилу треугольника \(\vec{C_1B} + \vec{BB_1} = \vec{C_1B_1}\).
Следовательно, \(\vec{x} = \vec{C_1B_1}\).
в) Уравнение: \(\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{x} + \vec{BC_1}\).
Соберем слагаемые, содержащие \(\vec{x}\), в одной части уравнения, а остальные слагаемые — в другой:
\(\vec{x} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{AB_1} + \vec{BC_1}\).
\(2\vec{x} = \vec{AC} — \vec{AB_1} + \vec{BC_1}\).
Разность векторов \(\vec{AC} — \vec{AB_1}\) равна \(\vec{AC} + (-\vec{AB_1})\). Вектор \(-\vec{AB_1}\) противоположен вектору \(\vec{AB_1}\), то есть \(-\vec{AB_1} = \vec{B_1A}\). Подставим:
\(2\vec{x} = \vec{AC} + \vec{B_1A} + \vec{BC_1}\).
Перегруппируем слагаемые:
\(2\vec{x} = (\vec{B_1A} + \vec{AC}) + \vec{BC_1}\).
Сложим векторы \(\vec{B_1A}\) и \(\vec{AC}\). По правилу треугольника \(\vec{B_1A} + \vec{AC} = \vec{B_1C}\). Тогда:
\(2\vec{x} = \vec{B_1C} + \vec{BC_1}\).
Теперь представим векторы \(\vec{B_1C}\) и \(\vec{BC_1}\) как суммы векторов, используя вершины призмы.
Вектор \(\vec{B_1C}\) можно представить как сумму \(\vec{B_1B} + \vec{BC}\) по правилу треугольника для \(\triangle B_1BC\).
Вектор \(\vec{BC_1}\) можно представить как сумму \(\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}\) по правилу треугольника для \(\triangle BB_1C_1\).
Подставим эти выражения в уравнение для \(2\vec{x}\):
\(2\vec{x} = (\vec{B_1B} + \vec{BC}) + (\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1})\).
Перегруппируем слагаемые:
\(2\vec{x} = \vec{B_1B} + \vec{BB_1} + \vec{BC} + \vec{B_1C_1}\).
Сумма векторов \(\vec{B_1B}\) и \(\vec{BB_1}\) равна нулевому вектору \(\vec{0}\), так как они противоположно направлены и равны по длине.
\(2\vec{x} = \vec{0} + \vec{BC} + \vec{B_1C_1}\).
В основаниях призмы соответствующие стороны параллельны и равны по длине, поэтому вектор \(\vec{BC}\) равен вектору \(\vec{B_1C_1}\). Заменим \(\vec{B_1C_1}\) на \(\vec{BC}\):
\(2\vec{x} = \vec{BC} + \vec{BC}\).
\(2\vec{x} = 2\vec{BC}\).
Разделим обе части уравнения на 2:
\(\vec{x} = \vec{BC}\).
Ответ: а) \(\vec{AC}\); б) \(\vec{C_1B_1}\); в) \(\vec{BC}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.