ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 577 Атанасян — Подробные Ответы

Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Укажите вектор \(\vec{x}\), начало и конец которого являются вершинами призмы, такой, что: а) \(\vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{x} = \vec{BA}\); б) \(\vec{AC_1} — \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}\); в) \(\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{BC_1}\).

Решение: а) из \(\vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{x} = \vec{BA}\) следует \(\vec{x} = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{BA} = \vec{BB_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB} = \vec{AC}\); б) из \(\vec{AC_1} — \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}\) следует \(\vec{x} = \vec{AB} — \vec{AC_1} + \vec{BB_1} = \vec{AB} + \vec{C_1A} + \vec{BB_1} = \vec{C_1A} + \vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{C_1B_1}\); в) из \(\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{x} + \vec{BC_1}\) следует \(2\vec{x} = \vec{AC} — \vec{AB_1} + \vec{BC_1} = (\vec{B_1A} + \vec{AC}) + \vec{BC_1} = \vec{B_1C} + \vec{BC_1} = (\vec{B_1B} +\)
\(+ \vec{BC}) + (\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}) = (\vec{B_1B} + \vec{BB_1}) + \vec{BC} + \vec{B_1C_1} = \vec{0} + \vec{BC} + \vec{BC} = \)
\(= 2\vec{BC}\), следовательно \(\vec{x} =\vec{BC}\).

Ответ: а) \(\vec{AC}\); б) \(\vec{C_1B_1}\); в) \(\vec{BC}\).

Дана треугольная призма \(ABCA_1B_1C_1\). Требуется найти вектор \(\vec{x}\), начало и конец которого являются вершинами призмы, удовлетворяющий заданным уравнениям.

а) Уравнение: \(\vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{x} = \vec{BA}\).
Чтобы найти вектор \(\vec{x}\), выразим его из данного уравнения:
\(\vec{x} = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} — \vec{BA}\).
Вектор \(\vec{BA}\) противоположен вектору \(\vec{AB}\), то есть \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). Подставим это в выражение для \(\vec{x}\):
\(\vec{x} = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} — (-\vec{AB}) = \vec{АА_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB}\).
В треугольной призме боковые ребра параллельны и равны по длине, поэтому вектор \(\vec{АА_1}\) равен вектору \(\vec{BB_1}\). Заменим \(\vec{АА_1}\) на \(\vec{BB_1}\):
\(\vec{x} = \vec{BB_1} + \vec{B_1C} + \vec{AB}\).
Перегруппируем слагаемые, чтобы использовать правило сложения векторов по треугольнику:
\(\vec{x} = \vec{AB} + \vec{BB_1} + \vec{B_1C}\).
Сначала сложим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BB_1}\). По правилу треугольника \(\vec{AB} + \vec{BB_1} = \vec{AB_1}\). Тогда выражение для \(\vec{x}\) примет вид:
\(\vec{x} = \vec{AB_1} + \vec{B_1C}\).
Теперь сложим векторы \(\vec{AB_1}\) и \(\vec{B_1C}\). По правилу треугольника \(\vec{AB_1} + \vec{B_1C} = \vec{AC}\).
Таким образом, \(\vec{x} = \vec{AC}\).

б) Уравнение: \(\vec{AC_1} — \vec{BB_1} + \vec{x} = \vec{AB}\).
Выразим вектор \(\vec{x}\) из данного уравнения:
\(\vec{x} = \vec{AB} — \vec{AC_1} + \vec{BB_1}\).
Разность векторов \(\vec{AB} — \vec{AC_1}\) можно представить как сумму \(\vec{AB} + (-\vec{AC_1})\). Вектор \(-\vec{AC_1}\) противоположен вектору \(\vec{AC_1}\), то есть \(-\vec{AC_1} = \vec{C_1A}\). Подставим это:
\(\vec{x} = \vec{AB} + \vec{C_1A} + \vec{BB_1}\).
Перегруппируем слагаемые:
\(\vec{x} = \vec{C_1A} + \vec{AB} + \vec{BB_1}\).
Сложим векторы \(\vec{C_1A}\) и \(\vec{AB}\). По правилу треугольника \(\vec{C_1A} + \vec{AB} = \vec{C_1B}\). Тогда:
\(\vec{x} = \vec{C_1B} + \vec{BB_1}\).
Теперь сложим векторы \(\vec{C_1B}\) и \(\vec{BB_1}\). По правилу треугольника \(\vec{C_1B} + \vec{BB_1} = \vec{C_1B_1}\).
Следовательно, \(\vec{x} = \vec{C_1B_1}\).

в) Уравнение: \(\vec{AB_1} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{x} + \vec{BC_1}\).
Соберем слагаемые, содержащие \(\vec{x}\), в одной части уравнения, а остальные слагаемые — в другой:
\(\vec{x} + \vec{x} = \vec{AC} — \vec{AB_1} + \vec{BC_1}\).
\(2\vec{x} = \vec{AC} — \vec{AB_1} + \vec{BC_1}\).
Разность векторов \(\vec{AC} — \vec{AB_1}\) равна \(\vec{AC} + (-\vec{AB_1})\). Вектор \(-\vec{AB_1}\) противоположен вектору \(\vec{AB_1}\), то есть \(-\vec{AB_1} = \vec{B_1A}\). Подставим:
\(2\vec{x} = \vec{AC} + \vec{B_1A} + \vec{BC_1}\).
Перегруппируем слагаемые:
\(2\vec{x} = (\vec{B_1A} + \vec{AC}) + \vec{BC_1}\).
Сложим векторы \(\vec{B_1A}\) и \(\vec{AC}\). По правилу треугольника \(\vec{B_1A} + \vec{AC} = \vec{B_1C}\). Тогда:
\(2\vec{x} = \vec{B_1C} + \vec{BC_1}\).
Теперь представим векторы \(\vec{B_1C}\) и \(\vec{BC_1}\) как суммы векторов, используя вершины призмы.
Вектор \(\vec{B_1C}\) можно представить как сумму \(\vec{B_1B} + \vec{BC}\) по правилу треугольника для \(\triangle B_1BC\).
Вектор \(\vec{BC_1}\) можно представить как сумму \(\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}\) по правилу треугольника для \(\triangle BB_1C_1\).
Подставим эти выражения в уравнение для \(2\vec{x}\):
\(2\vec{x} = (\vec{B_1B} + \vec{BC}) + (\vec{BB_1} + \vec{B_1C_1})\).
Перегруппируем слагаемые:
\(2\vec{x} = \vec{B_1B} + \vec{BB_1} + \vec{BC} + \vec{B_1C_1}\).
Сумма векторов \(\vec{B_1B}\) и \(\vec{BB_1}\) равна нулевому вектору \(\vec{0}\), так как они противоположно направлены и равны по длине.
\(2\vec{x} = \vec{0} + \vec{BC} + \vec{B_1C_1}\).
В основаниях призмы соответствующие стороны параллельны и равны по длине, поэтому вектор \(\vec{BC}\) равен вектору \(\vec{B_1C_1}\). Заменим \(\vec{B_1C_1}\) на \(\vec{BC}\):
\(2\vec{x} = \vec{BC} + \vec{BC}\).
\(2\vec{x} = 2\vec{BC}\).
Разделим обе части уравнения на 2:
\(\vec{x} = \vec{BC}\).

Ответ: а) \(\vec{AC}\); б) \(\vec{C_1B_1}\); в) \(\vec{BC}\).