Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 575 Атанасян — Подробные Ответы
Дан параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Докажите, что \(\vec{ОА} + \vec{ОС_1} = \vec{ОС} + \vec{ОА_1}\), где \(О\) — произвольная точка пространства.
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед; \(О\) — произвольная точка. Доказать: \(\vec{ОА} + \vec{ОС_1} = \vec{ОС} + \vec{ОА_1}\). Доказательство: \(\vec{ОА} = \vec{ОА_1} + \vec{А_1А}\), отсюда \(\vec{А_1А} = \vec{ОА} — \vec{ОА_1}\); \(\vec{ОС} = \vec{ОС_1} + \vec{С_1С}\), отсюда \(\vec{С_1С} = \vec{ОС} — \vec{ОС_1}\); \(\vec{А_1А} = \vec{С_1С}\) (так как \(\vec{А_1А} \parallel \vec{С_1С}\) и \(А_1А = С_1С\)); Таким образом: \(\vec{ОА} — \vec{ОА_1} = \vec{ОС} — \vec{ОС_1} \Rightarrow \vec{ОА} + \vec{ОС_1} = \vec{ОС} + \vec{ОА_1}\), что и требовалось доказать.
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед; \(О\) — произвольная точка пространства. Требуется доказать, что \(\vec{ОА} + \vec{ОС_1} = \vec{ОС} + \vec{ОА_1}\).
Первый шаг доказательства состоит в выражении вектора \(\vec{ОА}\) через сумму векторов, исходящих из точки \(О\). Используя правило сложения векторов, можно записать \(\vec{ОА} = \vec{ОА_1} + \vec{А_1А}\). Из этого векторного равенства можно выразить вектор \(\vec{А_1А}\) как разность векторов \(\vec{ОА}\) и \(\vec{ОА_1}\), то есть \(\vec{А_1А} = \vec{ОА} — \vec{ОА_1}\).
Второй шаг аналогичен первому, но применяется к вектору \(\vec{ОС}\). Вектор \(\vec{ОС}\) может быть представлен как сумма векторов \(\vec{ОС_1}\) и \(\vec{С_1С}\): \(\vec{ОС} = \vec{ОС_1} + \vec{С_1С}\). Выражая из этого равенства вектор \(\vec{С_1С}\), получаем \(\vec{С_1С} = \vec{ОС} — \vec{ОС_1}\).
Третий шаг основан на свойствах параллелепипеда. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны по длине. Векторы, соответствующие этим ребрам, равны. В данном случае, ребро \(А_1А\) параллельно и равно ребру \(С_1С\). Следовательно, векторы \(\vec{А_1А}\) и \(\vec{С_1С}\) равны: \(\vec{А_1А} = \vec{С_1С}\). Это равенство векторов следует из того, что отрезки \(А_1А\) и \(С_1С\) параллельны (\(А_1А \parallel С_1С\)) и имеют одинаковую длину (\(А_1А = С_1С\)).
Четвертый шаг объединяет результаты предыдущих шагов. Поскольку \(\vec{А_1А} = \vec{С_1С}\), мы можем приравнять выражения для этих векторов, полученные на первом и втором шагах: \(\vec{ОА} — \vec{ОА_1} = \vec{ОС} — \vec{ОС_1}\). Перенося векторы с индексом «1» в правую часть уравнения, а векторы без индекса «1» в левую часть, получаем \(\vec{ОА} + \vec{ОС_1} = \vec{ОС} + \vec{ОА_1}\). Это именно то равенство, которое требовалось доказать. Таким образом, доказательство завершено.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.