Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 574 Атанасян — Подробные Ответы
Упростите выражение: а) \(\vec{ОР} — \vec{ЕР} + \vec{KD} — \vec{KA}\); б) \(\vec{AD} + \vec{МР} + \vec{ЕК} — \vec{ЕР} — \vec{MD}\); в) \(\vec{AC} — \vec{BC} — \vec{PM} — \vec{AP} + \vec{BM}\).
а) \(\vec{ОР} — \vec{ЕР} + \vec{KD} — \vec{KA} = \vec{ОР} + \vec{PE} + \vec{KD} + \vec{AK} = (\vec{ОР} + \vec{PE}) + (\vec{AK} + \)
\(+\vec{KD}) = \vec{OE} + \vec{AD}\).
б) \(\vec{AD} + \vec{МР} + \vec{ЕК} — \vec{ЕР} — \vec{MD} = \vec{AD} + \vec{МР} + \vec{ЕК} + \vec{PE} + \vec{DM} = (\vec{AD} +\)
\( +\vec{DM}) + \vec{МР} + \vec{PE} + \vec{ЕК} = \vec{AM} + \vec{МР} + \vec{PE} + \vec{ЕК} = (\vec{AM} + \vec{МР}) + \vec{PE} +\)
\(+ \vec{ЕК} = \vec{AP} + \vec{PE} + \vec{ЕК} = (\vec{AP} + \vec{PE}) + \vec{ЕК} = \vec{AE} + \vec{ЕК} = \vec{AK}\).
в) \(\vec{AC} — \vec{BC} — \vec{PM} — \vec{AP} + \vec{BM} = \vec{AC} + \vec{CB} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{BM} = (\vec{AC} +\)
\(+ \vec{CB}) + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{BM} = \vec{AB} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{BM} = \vec{AB} + \vec{BM} +\)
\(+ \vec{MP} + \vec{PA} = (\vec{AB} + \vec{BM}) + \vec{MP} + \vec{PA} = \vec{AM} + \vec{MP} + \vec{PA} = (\vec{AM} +\)
\( +\vec{MP}) + \vec{PA} = \vec{AP} + \vec{PA} = \vec{AA} = \vec{0}\).
Ответ: а) \(\vec{OE} + \vec{AD}\); б) \(\vec{AK}\); в) \(\vec{0}\).
Для упрощения выражений с векторами воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов, а также сочетательным и переместительным законами сложения векторов. Вычитание вектора равносильно прибавлению вектора, противоположного вычитаемому, то есть \(\vec{a} — \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\). Противоположным вектору \(\vec{AB}\) является вектор \(\vec{BA}\), то есть \(-\vec{AB} = \vec{BA}\). Правило треугольника для сложения векторов гласит, что \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
а) Упростим выражение \(\vec{ОР} — \vec{ЕР} + \vec{KD} — \vec{KA}\).
Сначала заменим вычитание векторов на сложение противоположных векторов. Вектор, противоположный \(\vec{ЕР}\), это \(\vec{PE}\), то есть \(-\vec{ЕР} = \vec{PE}\). Вектор, противоположный \(\vec{KA}\), это \(\vec{AK}\), то есть \(-\vec{KA} = \vec{AK}\).
Исходное выражение примет вид \(\vec{ОР} + \vec{PE} + \vec{KD} + \vec{AK}\).
Теперь сгруппируем векторы, которые можно сложить по правилу треугольника. Сгруппируем \(\vec{ОР}\) и \(\vec{PE}\), а также \(\vec{AK}\) и \(\vec{KD}\) в соответствии с примером, используя сочетательный закон сложения векторов: \((\vec{ОР} + \vec{PE}) + (\vec{AK} + \vec{KD})\).
Применяя правило треугольника к первой скобке, получаем \(\vec{ОР} + \vec{PE} = \vec{OE}\).
Применяя правило треугольника ко второй скобке, получаем \(\vec{AK} + \vec{KD} = \vec{AD}\).
Таким образом, выражение упрощается до \(\vec{OE} + \vec{AD}\).
б) Упростим выражение \(\vec{AD} + \vec{МР} + \vec{ЕК} — \vec{ЕР} — \vec{MD}\).
Заменим вычитание векторов на сложение противоположных векторов. Вектор, противоположный \(\vec{ЕР}\), это \(\vec{PE}\), то есть \(-\vec{ЕР} = \vec{PE}\). Вектор, противоположный \(\vec{MD}\), это \(\vec{DM}\), то есть \(-\vec{MD} = \vec{DM}\).
Исходное выражение примет вид \(\vec{AD} + \vec{МР} + \vec{ЕК} + \vec{PE} + \vec{DM}\).
Переставим слагаемые, используя переместительный закон, и сгруппируем их для последовательного применения правила треугольника, как показано в примере: \((\vec{AD} + \vec{DM}) + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{ЕК}\).
Применяя правило треугольника к первой скобке, получаем \(\vec{AD} + \vec{DM} = \vec{AM}\).
Выражение становится \(\vec{AM} + \vec{MP} + \vec{PE} + \vec{ЕК}\).
Сгруппируем следующие векторы: \((\vec{AM} + \vec{MP}) + \vec{PE} + \vec{ЕК}\).
Применяя правило треугольника, получаем \(\vec{AM} + \vec{MP} = \vec{AP}\).
Выражение становится \(\vec{AP} + \vec{PE} + \vec{ЕК}\).
Сгруппируем следующие векторы: \((\vec{AP} + \vec{PE}) + \vec{ЕК}\).
Применяя правило треугольника, получаем \(\vec{AP} + \vec{PE} = \vec{AE}\).
Выражение становится \(\vec{AE} + \vec{ЕК}\).
Применяя правило треугольника, получаем \(\vec{AE} + \vec{ЕК} = \vec{AK}\).
Таким образом, выражение упрощается до \(\vec{AK}\).
в) Упростим выражение \(\vec{AC} — \vec{BC} — \vec{PM} — \vec{AP} + \vec{BM}\).
Заменим вычитание векторов на сложение противоположных векторов. Вектор, противоположный \(\vec{BC}\), это \(\vec{CB}\), то есть \(-\vec{BC} = \vec{CB}\). Вектор, противоположный \(\vec{PM}\), это \(\vec{MP}\), то есть \(-\vec{PM} = \vec{MP}\). Вектор, противоположный \(\vec{AP}\), это \(\vec{PA}\), то есть \(-\vec{AP} = \vec{PA}\).
Исходное выражение примет вид \(\vec{AC} + \vec{CB} + \vec{MP} + \vec{PA} + \vec{BM}\).
Переставим слагаемые, используя переместительный закон, и сгруппируем их для последовательного применения правила треугольника, как показано в примере: \((\vec{AC} + \vec{CB}) + \vec{BM} + \vec{MP} + \vec{PA}\).
Применяя правило треугольника к первой скобке, получаем \(\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}\).
Выражение становится \(\vec{AB} + \vec{BM} + \vec{MP} + \vec{PA}\).
Сгруппируем следующие векторы: \((\vec{AB} + \vec{BM}) + \vec{MP} + \vec{PA}\).
Применяя правило треугольника, получаем \(\vec{AB} + \vec{BM} = \vec{AM}\).
Выражение становится \(\vec{AM} + \vec{MP} + \vec{PA}\).
Сгруппируем следующие векторы: \((\vec{AM} + \vec{MP}) + \vec{PA}\).
Применяя правило треугольника, получаем \(\vec{AM} + \vec{MP} = \vec{AP}\).
Выражение становится \(\vec{AP} + \vec{PA}\).
Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору: \(\vec{AP} + \vec{PA} = \vec{AA} = \vec{0}\).
Таким образом, выражение упрощается до \(\vec{0}\).
Ответ: а) \(\vec{OE} + \vec{AD}\); б) \(\vec{AK}\); в) \(\vec{0}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.