Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 573 Атанасян — Подробные Ответы
Даны точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\). Представьте вектор \(\vec{АВ}\) в виде алгебраической суммы следующих векторов: а) \(\vec{АС}\), \(\vec{DC}\), \(\vec{BD}\); б) \(\vec{DA}\), \(\vec{DC}\), \(\vec{CB}\); в) \(\vec{DA}\), \(\vec{CВ}\), \(\vec{BC}\).
а) \(\vec{АВ} = \vec{АС} + \vec{CD} + \vec{DB} = \vec{АС} — \vec{DC} — \vec{BD}\) (так как \(\vec{CD} = -\vec{DC}\) и \(\vec{DB} = -\vec{BD}\)); б) \(\vec{АВ} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = -\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{CB}\) (так как \(\vec{AD} = -\vec{DA}\)); в) \(\vec{АВ} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB} = -\vec{DA} — \vec{CD} — \vec{BC}\) (так как \(\vec{AD} = -\vec{DA}\), \(\vec{DC} = -\vec{CD}\) и \(\vec{CB} = -\vec{BC}\));
Для того чтобы представить один вектор в виде суммы других векторов, мы можем использовать правило треугольника или правило многоугольника для сложения векторов. Правило треугольника гласит, что если у нас есть два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) такие, что конец вектора \(\vec{a}\) совпадает с началом вектора \(\vec{b}\), то их сумма \(\vec{a} + \vec{b}\) есть вектор, идущий от начала вектора \(\vec{a}\) к концу вектора \(\vec{b}\). Например, для точек \(X, Y, Z\), \(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\). Также следует помнить, что вектор, направленный в противоположную сторону, имеет противоположный знак, то есть \(\vec{XY} = -\vec{YX}\).
а) Представим вектор \(\vec{АВ}\) в виде суммы векторов \(\vec{АС}\), \(\vec{DC}\), \(\vec{BD}\).
Начнем с вектора \(\vec{АВ}\). Используя правило треугольника с точкой \(С\), мы можем записать \(\vec{АВ} = \vec{АС} + \vec{СВ}\).
Теперь посмотрим на вектор \(\vec{СВ}\). Мы хотим ввести векторы \(\vec{DC}\) и \(\vec{BD}\). Используя правило треугольника с точкой \(D\) для вектора \(\vec{СВ}\), мы можем записать \(\vec{СВ} = \vec{CD} + \vec{DB}\).
Подставим это выражение для \(\vec{СВ}\) обратно в первое уравнение: \(\vec{АВ} = \vec{АС} + (\vec{CD} + \vec{DB}) = \vec{АС} + \vec{CD} + \vec{DB}\).
Теперь нужно выразить векторы \(\vec{CD}\) и \(\vec{DB}\) через требуемые векторы \(\vec{DC}\) и \(\vec{BD}\).
Вектор \(\vec{CD}\) противоположен вектору \(\vec{DC}\), следовательно, \(\vec{CD} = -\vec{DC}\).
Вектор \(\vec{DB}\) противоположен вектору \(\vec{BD}\), следовательно, \(\vec{DB} = -\vec{BD}\).
Подставим эти соотношения в выражение для \(\vec{АВ}\): \(\vec{АВ} = \vec{АС} + (-\vec{DC}) + (-\vec{BD}) = \vec{АС} — \vec{DC} — \vec{BD}\).
Таким образом, \(\vec{АВ} = \vec{АС} — \vec{DC} — \vec{BD}\).
б) Представим вектор \(\vec{АВ}\) в виде суммы векторов \(\vec{DA}\), \(\vec{DC}\), \(\vec{CB}\).
Начнем с вектора \(\vec{АВ}\). Используя правило треугольника с точкой \(D\), мы можем записать \(\vec{АВ} = \vec{AD} + \vec{DB}\).
Теперь посмотрим на вектор \(\vec{DB}\). Мы хотим ввести векторы \(\vec{DC}\) и \(\vec{CB}\). Используя правило треугольника с точкой \(С\) для вектора \(\vec{DB}\), мы можем записать \(\vec{DB} = \vec{DC} + \vec{CB}\).
Подставим это выражение для \(\vec{DB}\) обратно в первое уравнение: \(\vec{АВ} = \vec{AD} + (\vec{DC} + \vec{CB}) = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}\).
Теперь нужно выразить вектор \(\vec{AD}\) через требуемый вектор \(\vec{DA}\).
Вектор \(\vec{AD}\) противоположен вектору \(\vec{DA}\), следовательно, \(\vec{AD} = -\vec{DA}\).
Подставим это соотношение в выражение для \(\vec{АВ}\): \(\vec{АВ} = (-\vec{DA}) + \vec{DC} + \vec{CB} = -\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{CB}\).
Таким образом, \(\vec{АВ} = -\vec{DA} + \vec{DC} + \vec{CB}\).
в) Представим вектор \(\vec{АВ}\) в виде суммы векторов \(\vec{DA}\), \(\vec{CD}\), \(\vec{BC}\).
Воспользуемся выражением, полученным в пункте б) до замены знаков: \(\vec{АВ} = \vec{AD} + \vec{DC} + \vec{CB}\).
Теперь нужно выразить векторы \(\vec{AD}\), \(\vec{DC}\) и \(\vec{CB}\) через требуемые векторы \(\vec{DA}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{BC}\).
Вектор \(\vec{AD}\) противоположен вектору \(\vec{DA}\), следовательно, \(\vec{AD} = -\vec{DA}\).
Вектор \(\vec{DC}\) противоположен вектору \(\vec{CD}\), следовательно, \(\vec{DC} = -\vec{CD}\).
Вектор \(\vec{CB}\) противоположен вектору \(\vec{BC}\), следовательно, \(\vec{CB} = -\vec{BC}\).
Подставим эти соотношения в выражение для \(\vec{АВ}\): \(\vec{АВ} = (-\vec{DA}) + (-\vec{CD}) + (-\vec{BC}) = -\vec{DA} — \vec{CD} — \vec{BC}\).
Таким образом, \(\vec{АВ} = -\vec{DA} — \vec{CD} — \vec{BC}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.