Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 572 Атанасян — Подробные Ответы
Упростите выражение: а) \(\vec{АВ} + \vec{MN} + \vec{ВС} + \vec{СА} + \vec{PQ} + \vec{NM}\); б) \(\vec{FK} + \vec{MР} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}\); в) \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{АС} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{СА} + \vec{MP}\); г) \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}\).
Воспользуемся сочетательным и переместительным законами:
а) \(\vec{АВ} + \vec{MN} + \vec{ВС} + \vec{СА} + \vec{PQ} + \vec{NM} = (\vec{MN} + \vec{NM}) + (\vec{АВ} + \vec{ВС} + \vec{СА})=\)
\( + \vec{PQ} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{PQ} = \vec{PQ}\);
б) \(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF} = (\vec{FK} + \vec{KP} + \vec{PF}) + (\vec{AM} + \)
\(+\vec{MQ} + \vec{QK}) = \vec{0} + \vec{AK} = \vec{AK}\);
в) \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{АС} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{СА} + \vec{MP} = (\vec{СА} + \vec{АС}) + (\vec{KM} + \vec{MP})+\)
\( + (\vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK}) = \vec{0} + \vec{KP} + \vec{CK} = \vec{CK} + \vec{KP} = \vec{CP}\);
г) \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM} = (\vec{AB} + \vec{BA}) + \)
\(+(\vec{CD} + \vec{DC}) + (\vec{MN} + \vec{NM}) = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\).
Ответ: а) \(\vec{PQ}\); б) \(\vec{AK}\); в) \(\vec{CP}\); г) \(\vec{0}\).
Для упрощения данных векторных выражений воспользуемся сочетательным и переместительным законами сложения векторов, а также правилом сложения векторов (правилом треугольника или многоугольника) и свойством суммы противоположных векторов.
Рассмотрим первое выражение: \(\vec{АВ} + \vec{MN} + \vec{ВС} + \vec{СА} + \vec{PQ} + \vec{NM}\). Мы можем перегруппировать слагаемые, используя переместительный закон. Сгруппируем векторы, которые являются противоположными, и векторы, которые можно сложить по правилу многоугольника. Перепишем выражение как \((\vec{MN} + \vec{NM}) + (\vec{АВ} + \vec{ВС} + \vec{СА}) + \vec{PQ}\). Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору, то есть \(\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}\). Для группы векторов \(\vec{АВ} + \vec{ВС} + \vec{СА}\) применим правило многоугольника: \(\vec{АВ} + \vec{ВС} = \vec{АС}\). Тогда выражение в скобках становится \(\vec{АС} + \vec{СА}\). Сумма векторов \(\vec{АС}\) и \(\vec{СА}\) также равна нулевому вектору, поскольку они противоположны: \(\vec{АС} + \vec{СА} = \vec{0}\). Подставляя полученные нулевые векторы обратно в выражение, получаем \(\vec{0} + \vec{0} + \vec{PQ}\). Сумма нулевого вектора с любым вектором равна этому вектору, поэтому окончательно получаем \(\vec{PQ}\).
Перейдем ко второму выражению: \(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}\). Снова перегруппируем векторы. Попробуем найти группы векторов, образующих замкнутые контуры или цепочки для сложения. Сгруппируем \(\vec{FK}\), \(\vec{KP}\), и \(\vec{PF}\): \((\vec{FK} + \vec{KP} + \vec{PF})\). По правилу многоугольника, \(\vec{FK} + \vec{KP} = \vec{FP}\). Тогда сумма в скобках равна \(\vec{FP} + \vec{PF}\). Это сумма противоположных векторов, которая дает нулевой вектор: \(\vec{FP} + \vec{PF} = \vec{0}\). Теперь сгруппируем оставшиеся векторы: \(\vec{AM}\), \(\vec{MQ}\), и \(\vec{QK}\): \((\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK})\). По правилу многоугольника, \(\vec{AM} + \vec{MQ} = \vec{AQ}\). Тогда сумма в скобках равна \(\vec{AQ} + \vec{QK}\). Складывая эти векторы по правилу треугольника, получаем \(\vec{AK}\). Подставляя результаты сложения групп обратно в исходное выражение, имеем \(\vec{0} + \vec{AK}\), что равно \(\vec{AK}\).
Рассмотрим третье выражение: \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{АС} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{СА} + \vec{MP}\). Перегруппируем слагаемые для удобства сложения. Сгруппируем противоположные векторы \(\vec{СА}\) и \(\vec{АС}\): \((\vec{СА} + \vec{АС})\). Их сумма равна \(\vec{0}\). Сгруппируем векторы \(\vec{KM}\) и \(\vec{MP}\): \((\vec{KM} + \vec{MP})\). По правилу треугольника, их сумма равна \(\vec{KP}\). Сгруппируем оставшиеся векторы \(\vec{CD}\), \(\vec{DF}\), и \(\vec{FK}\): \((\vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK})\). По правилу многоугольника, \(\vec{CD} + \vec{DF} = \vec{CF}\). Тогда сумма в скобках равна \(\vec{CF} + \vec{FK}\). Складывая эти векторы по правилу треугольника, получаем \(\vec{CK}\). Теперь соберем результаты сложения всех групп: \(\vec{0} + \vec{KP} + \vec{CK}\). Используя переместительный закон, перепишем это как \(\vec{CK} + \vec{KP}\). Складывая эти векторы по правилу треугольника, получаем \(\vec{CP}\).
Наконец, рассмотрим четвертое выражение: \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}\). Сгруппируем пары противоположных векторов: \((\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + (\vec{MN} + \vec{NM})\). Сумма каждой пары противоположных векторов равна нулевому вектору: \(\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}\), \(\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}\), \(\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}\). Подставляя нулевые векторы обратно в выражение, получаем \(\vec{0} + \vec{0} + \vec{0}\). Сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, поэтому окончательный результат равен \(\vec{0}\).
Таким образом, упрощенные выражения равны: а) \(\vec{PQ}\); б) \(\vec{AK}\); в) \(\vec{CP}\); г) \(\vec{0}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.