ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 572 Атанасян — Подробные Ответы

Упростите выражение: а) \(\vec{АВ} + \vec{MN} + \vec{ВС} + \vec{СА} + \vec{PQ} + \vec{NM}\); б) \(\vec{FK} + \vec{MР} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}\); в) \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{АС} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{СА} + \vec{MP}\); г) \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}\).

Воспользуемся сочетательным и переместительным законами:
а) \(\vec{АВ} + \vec{MN} + \vec{ВС} + \vec{СА} + \vec{PQ} + \vec{NM} = (\vec{MN} + \vec{NM}) + (\vec{АВ} + \vec{ВС} + \vec{СА})=\)
\( + \vec{PQ} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{PQ} = \vec{PQ}\);
б) \(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF} = (\vec{FK} + \vec{KP} + \vec{PF}) + (\vec{AM} + \)
\(+\vec{MQ} + \vec{QK}) = \vec{0} + \vec{AK} = \vec{AK}\);
в) \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{АС} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{СА} + \vec{MP} = (\vec{СА} + \vec{АС}) + (\vec{KM} + \vec{MP})+\)
\( + (\vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK}) = \vec{0} + \vec{KP} + \vec{CK} = \vec{CK} + \vec{KP} = \vec{CP}\);
г) \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM} = (\vec{AB} + \vec{BA}) + \)
\(+(\vec{CD} + \vec{DC}) + (\vec{MN} + \vec{NM}) = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\).
Ответ: а) \(\vec{PQ}\); б) \(\vec{AK}\); в) \(\vec{CP}\); г) \(\vec{0}\).

Для упрощения данных векторных выражений воспользуемся сочетательным и переместительным законами сложения векторов, а также правилом сложения векторов (правилом треугольника или многоугольника) и свойством суммы противоположных векторов.

Рассмотрим первое выражение: \(\vec{АВ} + \vec{MN} + \vec{ВС} + \vec{СА} + \vec{PQ} + \vec{NM}\). Мы можем перегруппировать слагаемые, используя переместительный закон. Сгруппируем векторы, которые являются противоположными, и векторы, которые можно сложить по правилу многоугольника. Перепишем выражение как \((\vec{MN} + \vec{NM}) + (\vec{АВ} + \vec{ВС} + \vec{СА}) + \vec{PQ}\). Сумма вектора и противоположного ему вектора равна нулевому вектору, то есть \(\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}\). Для группы векторов \(\vec{АВ} + \vec{ВС} + \vec{СА}\) применим правило многоугольника: \(\vec{АВ} + \vec{ВС} = \vec{АС}\). Тогда выражение в скобках становится \(\vec{АС} + \vec{СА}\). Сумма векторов \(\vec{АС}\) и \(\vec{СА}\) также равна нулевому вектору, поскольку они противоположны: \(\vec{АС} + \vec{СА} = \vec{0}\). Подставляя полученные нулевые векторы обратно в выражение, получаем \(\vec{0} + \vec{0} + \vec{PQ}\). Сумма нулевого вектора с любым вектором равна этому вектору, поэтому окончательно получаем \(\vec{PQ}\).

Перейдем ко второму выражению: \(\vec{FK} + \vec{MQ} + \vec{KP} + \vec{AM} + \vec{QK} + \vec{PF}\). Снова перегруппируем векторы. Попробуем найти группы векторов, образующих замкнутые контуры или цепочки для сложения. Сгруппируем \(\vec{FK}\), \(\vec{KP}\), и \(\vec{PF}\): \((\vec{FK} + \vec{KP} + \vec{PF})\). По правилу многоугольника, \(\vec{FK} + \vec{KP} = \vec{FP}\). Тогда сумма в скобках равна \(\vec{FP} + \vec{PF}\). Это сумма противоположных векторов, которая дает нулевой вектор: \(\vec{FP} + \vec{PF} = \vec{0}\). Теперь сгруппируем оставшиеся векторы: \(\vec{AM}\), \(\vec{MQ}\), и \(\vec{QK}\): \((\vec{AM} + \vec{MQ} + \vec{QK})\). По правилу многоугольника, \(\vec{AM} + \vec{MQ} = \vec{AQ}\). Тогда сумма в скобках равна \(\vec{AQ} + \vec{QK}\). Складывая эти векторы по правилу треугольника, получаем \(\vec{AK}\). Подставляя результаты сложения групп обратно в исходное выражение, имеем \(\vec{0} + \vec{AK}\), что равно \(\vec{AK}\).

Рассмотрим третье выражение: \(\vec{KM} + \vec{DF} + \vec{АС} + \vec{FK} + \vec{CD} + \vec{СА} + \vec{MP}\). Перегруппируем слагаемые для удобства сложения. Сгруппируем противоположные векторы \(\vec{СА}\) и \(\vec{АС}\): \((\vec{СА} + \vec{АС})\). Их сумма равна \(\vec{0}\). Сгруппируем векторы \(\vec{KM}\) и \(\vec{MP}\): \((\vec{KM} + \vec{MP})\). По правилу треугольника, их сумма равна \(\vec{KP}\). Сгруппируем оставшиеся векторы \(\vec{CD}\), \(\vec{DF}\), и \(\vec{FK}\): \((\vec{CD} + \vec{DF} + \vec{FK})\). По правилу многоугольника, \(\vec{CD} + \vec{DF} = \vec{CF}\). Тогда сумма в скобках равна \(\vec{CF} + \vec{FK}\). Складывая эти векторы по правилу треугольника, получаем \(\vec{CK}\). Теперь соберем результаты сложения всех групп: \(\vec{0} + \vec{KP} + \vec{CK}\). Используя переместительный закон, перепишем это как \(\vec{CK} + \vec{KP}\). Складывая эти векторы по правилу треугольника, получаем \(\vec{CP}\).

Наконец, рассмотрим четвертое выражение: \(\vec{AB} + \vec{BA} + \vec{CD} + \vec{MN} + \vec{DC} + \vec{NM}\). Сгруппируем пары противоположных векторов: \((\vec{AB} + \vec{BA}) + (\vec{CD} + \vec{DC}) + (\vec{MN} + \vec{NM})\). Сумма каждой пары противоположных векторов равна нулевому вектору: \(\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}\), \(\vec{CD} + \vec{DC} = \vec{0}\), \(\vec{MN} + \vec{NM} = \vec{0}\). Подставляя нулевые векторы обратно в выражение, получаем \(\vec{0} + \vec{0} + \vec{0}\). Сумма нулевых векторов равна нулевому вектору, поэтому окончательный результат равен \(\vec{0}\).

Таким образом, упрощенные выражения равны: а) \(\vec{PQ}\); б) \(\vec{AK}\); в) \(\vec{CP}\); г) \(\vec{0}\).