Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 571 Атанасян — Подробные Ответы
Дан прямоугольный параллелепипед \(KLMNK_1L_1M_1N_1\). Докажите, что: а) \(|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK} — \vec{MM_1}|\); б) \(|\vec{K_1L_1} — \vec{NL_1}| = |\vec{ML} + \vec{MM_1}|\); в) \(|\vec{NL} — \vec{M_1L}| = |\vec{K_1N} — \vec{LN}|\).
Дано: \(KLMNK_1L_1M_1N_1\) — прямоугольный параллелепипед; Доказать: а) \(|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK} — \vec{MM_1}|\); б) \(|\vec{K_1L_1} — \vec{NL_1}| = |\vec{ML} + \vec{MM_1}|\); в) \(|\vec{NL} — \vec{M_1L}| = |\vec{K_1N} — \vec{LN}|\); Доказательство: а) \(\vec{MK} + \vec{MM_1} = \vec{MK} + \vec{KK_1} = \vec{MK_1}\) (так как \(\vec{KK_1} \parallel \vec{MM_1}\) и \(|\vec{KK_1}| = |\vec{MM_1}|\)); \(\vec{MK} — \vec{MM_1} = \vec{MK} + \vec{M_1M} = \vec{M_1M} + \vec{MK} = \vec{M_1K}\) (по перемест. закону); \(|\vec{MK_1}| = |\vec{M_1K}|\), так как диагонали в прямоугольном параллелепипеде равны, что и требовалось доказать. б) \(\vec{K_1L_1} — \vec{NL_1} = \vec{K_1L_1} + \vec{L_1N} = \vec{K_1N}\); \(\vec{ML} + \vec{MM_1} = \vec{ML} + \vec{LL_1} = \vec{ML_1}\) (так как \(\vec{MM_1} \parallel \vec{LL_1}\) и \(|\vec{MM_1}| = |\vec{LL_1}|\)); \(|\vec{K_1N}| = |\vec{ML_1}|\), как диагонали противолежащих граней прямоугольного параллелепипеда, что и требовалось доказать. в) \(\vec{NL} — \vec{M_1L} = \vec{NL} + \vec{LM_1} = \vec{NM_1}\); \(\vec{K_1N} — \vec{LN} = \vec{K_1N} + \vec{NL} = \vec{K_1L}\); \(|\vec{NM_1}| = |\vec{K_1L}|\), как диагонали противолежащих граней прямоугольного параллелепипеда, что и требовалось доказать.
Дано: \(KLMNK_1L_1M_1N_1\) — прямоугольный параллелепипед; Доказать: а) \(|\vec{MK} + \vec{MM_1}| = |\vec{MK} — \vec{MM_1}|\); б) \(|\vec{K_1L_1} — \vec{NL_1}| = |\vec{ML} + \vec{MM_1}|\); в) \(|\vec{NL} — \vec{M_1L}| = |\vec{K_1N} — \vec{LN}|\); Доказательство: а) Рассмотрим левую часть: \(\vec{MK} + \vec{MM_1}\). В прямоугольном параллелепипеде вектор \(\vec{MM_1}\) равен вектору \(\vec{KK_1}\), так как они параллельны и имеют равную длину. Следовательно, \(\vec{MK} + \vec{MM_1} = \vec{MK} + \vec{KK_1}\). По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов \(\vec{MK}\) и \(\vec{KK_1}\) равна вектору \(\vec{MK_1}\). Таким образом, левая часть равна \(|\vec{MK_1}|\). Рассмотрим правую часть: \(\vec{MK} — \vec{MM_1}\). Вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного вектора, то есть \(\vec{MK} — \vec{MM_1} = \vec{MK} + (-\vec{MM_1})\). Вектор \(-\vec{MM_1}\) противоположен вектору \(\vec{MM_1}\) и равен вектору \(\vec{M_1M}\). Следовательно, \(\vec{MK} + \vec{M_1M}\). По переместительному закону сложения векторов, это равно \(\vec{M_1M} + \vec{MK}\). По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов \(\vec{M_1M}\) и \(\vec{MK}\) равна вектору \(\vec{M_1K}\). Таким образом, правая часть равна \(|\vec{M_1K}|\). В прямоугольном параллелепипеде диагонали одной и той же грани равны. В данном случае, \(\vec{MK_1}\) и \(\vec{M_1K}\) являются диагоналями прямоугольника \(MKK_1M_1\). Следовательно, \(|\vec{MK_1}| = |\vec{M_1K}|\), что и требовалось доказать. б) Рассмотрим левую часть: \(\vec{K_1L_1} — \vec{NL_1}\). Вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного вектора: \(\vec{K_1L_1} — \vec{NL_1} = \vec{K_1L_1} + (-\vec{NL_1})\). Вектор \(-\vec{NL_1}\) противоположен вектору \(\vec{NL_1}\) и равен вектору \(\vec{L_1N}\). Следовательно, \(\vec{K_1L_1} + \vec{L_1N}\). По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов \(\vec{K_1L_1}\) и \(\vec{L_1N}\) равна вектору \(\vec{K_1N}\). Таким образом, левая часть равна \(|\vec{K_1N}|\). Рассмотрим правую часть: \(\vec{ML} + \vec{MM_1}\). В прямоугольном параллелепипеде вектор \(\vec{MM_1}\) равен вектору \(\vec{LL_1}\), так как они параллельны и имеют равную длину. Следовательно, \(\vec{ML} + \vec{MM_1} = \vec{ML} + \vec{LL_1}\). По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов \(\vec{ML}\) и \(\vec{LL_1}\) равна вектору \(\vec{ML_1}\). Таким образом, правая часть равна \(|\vec{ML_1}|\). В прямоугольном параллелепипеде диагонали противолежащих граней равны. В данном случае, \(\vec{K_1N}\) является диагональю грани \(K_1N_1NK\), а \(\vec{ML_1}\) является диагональю грани \(MLL_1M_1\). Грани \(K_1N_1NK\) и \(MLL_1M_1\) являются противолежащими гранями прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, \(|\vec{K_1N}| = |\vec{ML_1}|\), что и требовалось доказать. в) Рассмотрим левую часть: \(\vec{NL} — \vec{M_1L}\). Вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного вектора: \(\vec{NL} — \vec{M_1L} = \vec{NL} + (-\vec{M_1L})\). Вектор \(-\vec{M_1L}\) противоположен вектору \(\vec{M_1L}\) и равен вектору \(\vec{LM_1}\). Следовательно, \(\vec{NL} + \vec{LM_1}\). По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов \(\vec{NL}\) и \(\vec{LM_1}\) равна вектору \(\vec{NM_1}\). Таким образом, левая часть равна \(|\vec{NM_1}|\). Рассмотрим правую часть: \(\vec{K_1N} — \vec{LN}\). Вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного вектора: \(\vec{K_1N} — \vec{LN} = \vec{K_1N} + (-\vec{LN})\). Вектор \(-\vec{LN}\) противоположен вектору \(\vec{LN}\) и равен вектору \(\vec{NL}\). Следовательно, \(\vec{K_1N} + \vec{NL}\). По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма векторов \(\vec{NL}\) и \(\vec{K_1N}\) равна вектору \(\vec{K_1L}\). Таким образом, правая часть равна \(|\vec{K_1L}|\). В прямоугольном параллелепипеде диагонали противолежащих граней равны. В данном случае, \(\vec{NM_1}\) является диагональю грани \(NMM_1N_1\), а \(\vec{K_1L}\) является диагональю грани \(KLK_1L_1\). Грани \(NMM_1N_1\) и \(KLK_1L_1\) являются противолежащими гранями прямоугольного параллелепипеда. Следовательно, \(|\vec{NM_1}| = |\vec{K_1L}|\), что и требовалось доказать.
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.