Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 570 Атанасян — Подробные Ответы
В пространстве даны четыре точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\). Назовите вектор с началом и концом в данных точках, равный сумме векторов: а) \((\vec{AB} + \vec{СА} + \vec{DС}) + (\vec{ВС} + \vec{СD})\); б) \((\vec{AB} — \vec{АС}) + \vec{DС}\).
а) \((\vec{AB} + \vec{СА} + \vec{DС}) + (\vec{ВС} + \vec{СD}) = \vec{СА} + \vec{AB} + \vec{ВС} + \vec{СD} + \vec{DС} = \vec{СС} + \vec{СС} =\)
\(= \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\).
б) \((\vec{AB} — \vec{АС}) + \vec{DС} = \vec{AB} + \vec{СА} + \vec{DС} = \vec{DС} + \vec{СА} + \vec{AB} = \vec{DА} + \vec{AB} = \vec{DВ}\).
Ответ: а) \(\vec{0}\); б) \(\vec{DВ}\).
Даны четыре точки \(А\), \(В\), \(С\) и \(D\).
Требуется найти вектор, равный сумме векторов в каждом из двух выражений.
а) Рассмотрим выражение \((\vec{AB} + \vec{СА} + \vec{DС}) + (\vec{ВС} + \vec{СD})\).
Сначала раскроем скобки, так как сложение векторов ассоциативно:
\( \vec{AB} + \vec{СА} + \vec{DС} + \vec{ВС} + \vec{СD} \)
Воспользуемся переместительным законом сложения векторов, чтобы перегруппировать слагаемые для удобства применения правила треугольника (\(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\)). Переставим векторы так, чтобы конец одного вектора совпадал с началом следующего:
\( \vec{СА} + \vec{AB} + \vec{ВС} + \vec{СD} + \vec{DС} \)
Применим правило треугольника к первым двум векторам: \(\vec{СА} + \vec{AB} = \vec{СВ}\). Выражение примет вид:
\( \vec{СВ} + \vec{ВС} + \vec{СD} + \vec{DС} \)
Теперь применим правило треугольника к векторам \(\vec{СВ} + \vec{ВС}\): \(\vec{СВ} + \vec{ВС} = \vec{СС}\). Вектор \(\vec{СС}\) представляет собой вектор с совпадающими началом и концом, что является нулевым вектором \(\vec{0}\). Выражение становится:
\( \vec{СС} + \vec{СD} + \vec{DС} = \vec{0} + \vec{СD} + \vec{DС} \)
Прибавление нулевого вектора не изменяет сумму, поэтому:
\( \vec{СD} + \vec{DС} \)
Снова применим правило треугольника к векторам \(\vec{СD} + \vec{DС}\): \(\vec{СD} + \vec{DС} = \vec{СС}\). Как мы уже установили, \(\vec{СС}\) является нулевым вектором:
\( \vec{СС} = \vec{0} \)
Таким образом, результатом для части а) является нулевой вектор \(\vec{0}\).
б) Рассмотрим выражение \((\vec{AB} — \vec{АС}) + \vec{DС}\).
Сначала преобразуем разность векторов \(\vec{AB} — \vec{АС}\). По правилу вычитания векторов, разность двух векторов, имеющих общее начало, равна вектору, направленному из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора. То есть, \(\vec{AB} — \vec{АС} = \vec{СВ}\).
Альтернативно, можно использовать определение вычитания как сложения с противоположным вектором: \(\vec{AB} — \vec{АС} = \vec{AB} + (-\vec{АС})\). Противоположным вектору \(\vec{АС}\) является вектор \(\vec{СА}\), то есть \(-\vec{АС} = \vec{СА}\). Следовательно, \(\vec{AB} — \vec{АС} = \vec{AB} + \vec{СА}\).
Теперь подставим это обратно в исходное выражение:
\( (\vec{AB} + \vec{СА}) + \vec{DС} \)
Снова воспользуемся ассоциативным свойством сложения векторов и уберем скобки:
\( \vec{AB} + \vec{СА} + \vec{DС} \)
Переставим слагаемые, используя переместительный закон, чтобы применить правило треугольника. Сгруппируем векторы \(\vec{СА}\) и \(\vec{AB}\):
\( \vec{СА} + \vec{AB} + \vec{DС} \)
Применим правило треугольника к \(\vec{СА} + \vec{AB}\): \(\vec{СА} + \vec{AB} = \vec{СВ}\). Выражение становится:
\( \vec{СВ} + \vec{DС} \)
Переставим слагаемые для удобства применения правила треугольника:
\( \vec{DС} + \vec{СВ} \)
Применим правило треугольника к \(\vec{DС} + \vec{СВ}\): \(\vec{DС} + \vec{СВ} = \vec{DВ}\).
Таким образом, результатом для части б) является вектор \(\vec{DВ}\).
Ответ: а) \(\vec{0}\); б) \(\vec{DВ}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.