ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 568 Атанасян — Подробные Ответы

Пусть \(ABCD\) — параллелограмм, а \(О\) — произвольная точка пространства. Докажите, что: а) \(\vec{ОВ} — \vec{ОА} = \vec{ОС} — \vec{ОD}\); б) \(\vec{ОВ} — \vec{ОС} = \vec{DA}\).

Решение: а) По правилу треугольника \(\vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA}\) и \(\vec{OC} + \vec{CD} = \vec{OD}\). Из первого равенства следует \(\vec{OB} — \vec{OA} = -\vec{BA} = \vec{AB}\). Из второго равенства следует \(\vec{OC} — \vec{OD} = -\vec{CD} = \vec{DC}\). Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Следовательно, \(\vec{OB} — \vec{OA} = \vec{OC} — \vec{OD}\), что и требовалось доказать. б) По правилу треугольника \(\vec{OB} + \vec{BC} = \vec{OC}\). Из этого равенства следует \(\vec{OB} — \vec{OC} = -\vec{BC} = \vec{CB}\). Так как \(ABCD\) — параллелограмм, то \(\vec{CB} = \vec{DA}\). Следовательно, \(\vec{OB} — \vec{OC} = \vec{DA}\), что и требовалось доказать.

Дано: \(ABCD\) — параллелограмм, \(O\) — произвольная точка.
Доказать: а) \(\vec{OB} — \vec{OA} = \vec{OC} — \vec{OD}\); б) \(\vec{OB} — \vec{OC} = \vec{DA}\).

Решение:
а) Рассмотрим векторы, исходящие из точки \(O\). По правилу сложения векторов (правилу треугольника) для треугольника \(OAB\), вектор из \(O\) в \(A\) можно представить как сумму вектора из \(O\) в \(B\) и вектора из \(B\) в \(A\), то есть \(\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{BA}\). Аналогично, для треугольника \(OCD\), вектор из \(O\) в \(D\) можно представить как сумму вектора из \(O\) в \(C\) и вектора из \(C\) в \(D\), то есть \(\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD}\).

Из первого равенства \(\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{BA}\) выразим разность \(\vec{OB} — \vec{OA}\). Перенесем \(\vec{OA}\) в левую часть, а \(\vec{OB}\) в правую, получим \(\vec{OB} — \vec{OA} = -\vec{BA}\). Вектор \(-\vec{BA}\) противоположен вектору \(\vec{BA}\) и имеет то же направление, что и вектор \(\vec{AB}\), но противоположное направление. Следовательно, \(-\vec{BA} = \vec{AB}\). Таким образом, \(\vec{OB} — \vec{OA} = \vec{AB}\).

Из второго равенства \(\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD}\) выразим разность \(\vec{OC} — \vec{OD}\). Перенесем \(\vec{OD}\) в левую часть, а \(\vec{OC}\) в правую, получим \(\vec{OC} — \vec{OD} = -\vec{CD}\). Вектор \(-\vec{CD}\) противоположен вектору \(\vec{CD}\) и имеет то же направление, что и вектор \(\vec{DC}\), но противоположное направление. Следовательно, \(-\vec{CD} = \vec{DC}\). Таким образом, \(\vec{OC} — \vec{OD} = \vec{DC}\).

Поскольку \(ABCD\) является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, направленные вдоль противоположных сторон в одном направлении обхода, равны. Вектор \(\vec{AB}\) направлен от вершины \(A\) к вершине \(B\), а вектор \(\vec{DC}\) направлен от вершины \(D\) к вершине \(C\). В параллелограмме \(ABCD\) сторона \(AB\) параллельна и равна стороне \(DC\), и векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\) имеют одинаковое направление. Следовательно, \(\vec{AB} = \vec{DC}\).

Подставляя это равенство в полученные ранее выражения, имеем \(\vec{OB} — \vec{OA} = \vec{AB}\) и \(\vec{OC} — \vec{OD} = \vec{DC}\). Поскольку \(\vec{AB} = \vec{DC}\), то \(\vec{OB} — \vec{OA} = \vec{OC} — \vec{OD}\), что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим векторы, исходящие из точки \(O\). По правилу сложения векторов (правилу треугольника) для треугольника \(OBC\), вектор из \(O\) в \(C\) можно представить как сумму вектора из \(O\) в \(B\) и вектора из \(B\) в \(C\), то есть \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}\).

Из этого равенства \(\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}\) выразим разность \(\vec{OB} — \vec{OC}\). Перенесем \(\vec{OC}\) в левую часть, а \(\vec{OB}\) в правую, получим \(\vec{OB} — \vec{OC} = -\vec{BC}\). Вектор \(-\vec{BC}\) противоположен вектору \(\vec{BC}\) и имеет то же направление, что и вектор \(\vec{CB}\), но противоположное направление. Следовательно, \(-\vec{BC} = \vec{CB}\). Таким образом, \(\vec{OB} — \vec{OC} = \vec{CB}\).

Поскольку \(ABCD\) является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Вектор \(\vec{CB}\) направлен от вершины \(C\) к вершине \(B\), а вектор \(\vec{DA}\) направлен от вершины \(D\) к вершине \(A\). В параллелограмме \(ABCD\) сторона \(CB\) параллельна и равна стороне \(DA\), и векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{DA}\) имеют одинаковое направление. Следовательно, \(\vec{CB} = \vec{DA}\).

Подставляя это равенство в полученное ранее выражение, имеем \(\vec{OB} — \vec{OC} = \vec{CB}\). Поскольку \(\vec{CB} = \vec{DA}\), то \(\vec{OB} — \vec{OC} = \vec{DA}\), что и требовалось доказать.