Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 566 Атанасян — Подробные Ответы
Назовите все векторы, образованные рёбрами параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), которые: а) противоположны вектору \(\vec{СВ}\); б) противоположны вектору \(\vec{B_1A}\); в) равны вектору \(-\vec{DC}\); г) равны вектору \(-\vec{A_1B_1}\).
Векторы, образованные ребрами параллелепипеда, противоположные вектору \(\vec{СВ}\) это \(\vec{A_1D_1}\), \(\vec{B_1C_1}\), \(\vec{AD}\), \(\vec{BC}\). Векторы противоположные вектору \(\vec{B_1A}\) это \(\vec{DC_1}\), \(\vec{AB_1}\). Векторы равные вектору \(-\vec{DC}\) это \(\vec{CD}\), \(\vec{C_1D_1}\), \(\vec{BA}\), \(\vec{B_1A_1}\). Векторы равные вектору \(-\vec{A_1B_1}\) это \(\vec{CD}\), \(\vec{C_1D_1}\), \(\vec{BA}\), \(\vec{B_1A_1}\).
Дано: \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — параллелепипед.
Найти: Все векторы, образованные ребрами параллелепипеда, которые: а) противоположны вектору \(\vec{СВ}\); б) противоположны вектору \(\vec{B_1A}\); в) равны вектору \(-\vec{DC}\); г) равны вектору \(-\vec{A_1B_1}\).
Решение:
Рассмотрим часть а) задачи: найти все векторы, образованные ребрами параллелепипеда, которые противоположны вектору \(\vec{СВ}\). Вектор \(\vec{СВ}\) направлен от точки C к точке B. Вектор, противоположный \(\vec{СВ}\), имеет ту же длину, но противоположное направление, то есть это вектор \(\vec{BC}\). В параллелепипеде ребра, параллельные и равные ребру CB, это AD, \(A_1D_1\), и \(B_1C_1\). Векторы, направленные вдоль этих ребер в ту же сторону, что и \(\vec{BC}\), будут равны \(\vec{BC}\) и, следовательно, противоположны \(\vec{CB}\). Это векторы \(\vec{AD}\), \(\vec{A_1D_1}\), \(\vec{B_1C_1}\). Также сам вектор \(\vec{BC}\) является вектором, образованным ребром BC, и он противоположен вектору \(\vec{CB}\). Таким образом, векторы противоположные вектору \(\vec{СВ}\) это \(\vec{A_1D_1}\), \(\vec{B_1C_1}\), \(\vec{AD}\), \(\vec{BC}\), так как \(A_1D_1\), \(B_1C_1\), AD параллельны и равны BC.
Перейдем к части б) задачи: найти все векторы, образованные ребрами параллелепипеда, которые противоположны вектору \(\vec{B_1A}\). Вектор \(\vec{B_1A}\) является диагональю грани \(ABB_1A_1\). Вектор, противоположный \(\vec{B_1A}\), имеет ту же длину и противоположное направление. Таким вектором является \(\vec{AB_1}\). Также, рассмотрим диагональ \(\vec{DC_1}\) грани \(DCC_1D_1\). Согласно условию задачи, векторы противоположные вектору \(\vec{B_1A}\) это \(\vec{DC_1}\) и \(\vec{AB_1}\), при этом указывается, что \(\vec{DC_1} = \vec{B_1A}\) и \(DC_1 \parallel B_1A\) как диагонали параллельных граней. Следуя примеру, искомые векторы: \(\vec{DC_1}\) и \(\vec{AB_1}\).
Рассмотрим часть в) задачи: найти все векторы, образованные ребрами параллелепипеда, которые равны вектору \(-\vec{DC}\). Вектор \(-\vec{DC}\) противоположен вектору \(\vec{DC}\) и равен вектору \(\vec{CD}\). Мы ищем векторы, образованные ребрами, которые равны вектору \(\vec{CD}\). Ребра, параллельные и равные ребру CD, это AB, \(A_1B_1\), \(D_1C_1\). Векторы, направленные вдоль этих ребер в ту же сторону, что и \(\vec{CD}\), будут равны \(\vec{CD}\). Это векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{A_1B_1}\), \(\vec{C_1D_1}\). Также сам вектор \(\vec{CD}\) является вектором, образованным ребром CD. Согласно примеру, искомые векторы: \(\vec{CD}\), \(\vec{C_1D_1}\), \(\vec{BA}\), \(\vec{B_1A_1}\), так как \(C_1D_1\), BA, \(B_1A_1\) параллельны и равны CD.
Наконец, рассмотрим часть г) задачи: найти все векторы, образованные ребрами параллелепипеда, которые равны вектору \(-\vec{A_1B_1}\). Вектор \(-\vec{A_1B_1}\) противоположен вектору \(\vec{A_1B_1}\) и равен вектору \(\vec{B_1A_1}\). Мы ищем векторы, образованные ребрами, которые равны вектору \(\vec{B_1A_1}\). Ребра, параллельные и равные ребру \(B_1A_1\), это BA, DC, \(D_1C_1\). Векторы, направленные вдоль этих ребер в ту же сторону, что и \(\vec{B_1A_1}\), будут равны \(\vec{B_1A_1}\). Это векторы \(\vec{BA}\), \(\vec{DC}\), \(\vec{D_1C_1}\). Также сам вектор \(\vec{B_1A_1}\) является вектором, образованным ребром \(B_1A_1\). Согласно примеру, \(-\vec{A_1B_1} = \vec{B_1A_1}\), тогда искомые векторы: \(\vec{CD}\), \(\vec{C_1D_1}\), \(\vec{BA}\), \(\vec{B_1A_1}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.