Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 565 Атанасян — Подробные Ответы
Дан тетраэдр \(ABCD\). Докажите, что: а) \(\vec{АВ} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}\); б) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{AD}\); в) \(\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{BA}\).
Доказательство: а) \(\vec{АВ} + \vec{BD} = \vec{AD}\) и \(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\), следовательно \(\vec{АВ} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}\), что и требовалось доказать. б) \(\vec{АВ} + \vec{ВС} = \vec{АС}\) и \(\vec{DC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}\) (переместительный закон), следовательно \(\vec{АВ} + \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{AD}\), что и требовалось доказать. в) \(\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}\) и \(\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}\) (переместительный закон), следовательно \(\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{BA}\), что и требовалось доказать.
Доказательство:
а) Рассмотрим левую часть равенства \(\vec{АВ} + \vec{BD}\). Согласно правилу сложения векторов (правилу треугольника), сумма векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{BD}\) равна вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора (\(А\)), а конец — с концом второго вектора (\(D\)). Таким образом, \(\vec{АВ} + \vec{BD} = \vec{AD}\).
Теперь рассмотрим правую часть равенства \(\vec{AC} + \vec{CD}\). Аналогично, по правилу треугольника, сумма векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{CD}\) равна вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора (\(А\)), а конец — с концом второго вектора (\(D\)). Следовательно, \(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\).
Поскольку обе части равенства равны одному и тому же вектору \(\vec{AD}\), мы можем заключить, что \(\vec{АВ} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{CD}\), что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим левую часть равенства \(\vec{AB} + \vec{BC}\). По правилу треугольника, сумма векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) равна вектору \(\vec{AC}\). Следовательно, \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
Теперь рассмотрим правую часть равенства \(\vec{DC} + \vec{AD}\). Используя переместительный закон сложения векторов, мы можем поменять местами слагаемые: \(\vec{DC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{DC}\). По правилу треугольника, сумма векторов \(\vec{AD}\) и \(\vec{DC}\) равна вектору \(\vec{AC}\). Таким образом, \(\vec{DC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}\).
Поскольку левая часть равна \(\vec{AC}\) и правая часть равна \(\vec{AC}\), мы получаем \(\vec{АВ} + \vec{BC} = \vec{DC} + \vec{AD}\), что и требовалось доказать.
в) Рассмотрим левую часть равенства \(\vec{DC} + \vec{BD}\). Используя переместительный закон сложения векторов, мы можем поменять местами слагаемые: \(\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{BD} + \vec{DC}\). По правилу треугольника, сумма векторов \(\vec{BD}\) и \(\vec{DC}\) равна вектору \(\vec{BC}\). Следовательно, \(\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{BC}\).
Теперь рассмотрим правую часть равенства \(\vec{AC} + \vec{BA}\). Используя переместительный закон сложения векторов, мы можем поменять местами слагаемые: \(\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BA} + \vec{AC}\). По правилу треугольника, сумма векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{AC}\) равна вектору \(\vec{BC}\). Следовательно, \(\vec{AC} + \vec{BA} = \vec{BC}\).
Поскольку левая часть равенства равна \(\vec{BC}\) и правая часть равенства равна \(\vec{BC}\), мы заключаем, что \(\vec{DC} + \vec{BD} = \vec{AC} + \vec{BA}\), что и требовалось доказать.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.