ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 564 Атанасян — Подробные Ответы

На рисунке 157 изображён параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: а) \(\vec{АВ} + \vec{A_1D_1}\); б) \(\vec{АВ} + \vec{AD_1}\); в) \(\vec{DA} + \vec{B_1B}\); г) \(\vec{DD_1} + \vec{DB}\); д) \(\vec{DB_1} + \vec{BC}\).

а) \(\vec{АВ} + \vec{A_1D_1} = \vec{АВ} + \vec{ВС} = \vec{АС}\) (так как \(\vec{A_1D_1} = \vec{ВС}\));
б) \(\vec{АВ} + \vec{AD_1} = \vec{AC_1}\) (по правилу параллелограмма \(ABC_1D_1\));
в) \(\vec{DA} + \vec{B_1B} = \vec{СВ} + \vec{C_1C} = \vec{C_1C} + \vec{СВ} = \vec{С_1В}\) (т.к. \(\vec{DA} = \vec{СВ}\) и \(\vec{B_1B} = \vec{C_1C}\));
г) \(\vec{DD_1} + \vec{DB} = \vec{DD_1} + \vec{D_1B_1} = \vec{DB_1}\) (так как \(\vec{DB} = \vec{D_1B_1}\));
д) \(\vec{DB_1} + \vec{BC} = \vec{DB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{DC_1}\) (так как \(\vec{BC} = \vec{B_1C_1}\)).
Ответ: а) \(\vec{АС}\); б) \(\vec{АС_1}\); в) \(\vec{С_1В}\); г) \(\vec{DB_1}\); д) \(\vec{DC_1}\).

Для решения задачи необходимо использовать правила сложения векторов в пространстве, в частности, правило треугольника и правило параллелограмма, а также свойства параллелепипеда, такие как равенство и параллельность противоположных ребер и граней.

а) Найдем сумму векторов \(\vec{АВ} + \vec{A_1D_1}\). В параллелепипеде вектор \(\vec{A_1D_1}\) равен вектору \(\vec{AD}\) и вектору \(\vec{BC}\), так как они представляют собой параллельные и равные ребра. Следовательно, \(\vec{A_1D_1} = \vec{BC}\). Тогда сумма векторов примет вид \(\vec{АВ} + \vec{BC}\). По правилу треугольника для векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма равна вектору, идущему от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, \(\vec{АВ} + \vec{BC} = \vec{AC}\).

б) Найдем сумму векторов \(\vec{АВ} + \vec{AD_1}\). Векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{AD_1}\) имеют общее начало в точке А. По правилу параллелограмма, сумма двух векторов, исходящих из одной точки, равна вектору, являющемуся диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах. В данном случае, векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{AD_1}\) являются смежными сторонами параллелограмма \(ABD_1C_1\). Диагональю этого параллелограмма, исходящей из точки А, является вектор \(\vec{AC_1}\). Следовательно, \(\vec{АВ} + \vec{AD_1} = \vec{AC_1}\).

в) Найдем сумму векторов \(\vec{DA} + \vec{B_1B}\). В параллелепипеде вектор \(\vec{DA}\) равен вектору \(\vec{CB}\), так как они параллельны и равны. Вектор \(\vec{B_1B}\) равен вектору \(\vec{C_1C}\), так как они представляют собой параллельные и равные вертикальные ребра. Таким образом, сумма векторов преобразуется в \(\vec{CB} + \vec{C_1C}\). Переставим слагаемые: \(\vec{C_1C} + \vec{CB}\). По правилу треугольника, сумма векторов \(\vec{C_1C}\) и \(\vec{CB}\) равна вектору \(\vec{C_1B}\). Следовательно, \(\vec{DA} + \vec{B_1B} = \vec{C_1B}\).

г) Найдем сумму векторов \(\vec{DD_1} + \vec{DB}\). Векторы \(\vec{DD_1}\) и \(\vec{DB}\) имеют общее начало в точке D. По правилу параллелограмма, сумма этих векторов равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах. Параллелограммом, построенным на векторах \(\vec{DD_1}\) и \(\vec{DB}\), является \(DD_1B_1B\). Диагональю этого параллелограмма, исходящей из точки D, является вектор \(\vec{DB_1}\). Следовательно, \(\vec{DD_1} + \vec{DB} = \vec{DB_1}\). Альтернативно, можно заметить, что вектор \(\vec{DB}\) параллелен и равен вектору \(\vec{D_1B_1}\). Тогда \(\vec{DD_1} + \vec{DB} = \vec{DD_1} + \vec{D_1B_1}\). По правилу треугольника, \(\vec{DD_1} + \vec{D_1B_1} = \vec{DB_1}\).

д) Найдем сумму векторов \(\vec{DB_1} + \vec{BC}\). В параллелепипеде вектор \(\vec{BC}\) равен вектору \(\vec{B_1C_1}\), так как они параллельны и равны. Тогда сумма векторов примет вид \(\vec{DB_1} + \vec{B_1C_1}\). По правилу треугольника, если начало второго вектора \(\vec{B_1C_1}\) совпадает с концом первого вектора \(\vec{DB_1}\), то их сумма равна вектору, идущему от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, \(\vec{DB_1} + \vec{B_1C_1} = \vec{DC_1}\).

Ответ: а) \(\vec{АС}\); б) \(\vec{АС_1}\); в) \(\vec{С_1В}\); г) \(\vec{DB_1}\); д) \(\vec{DC_1}\).