Когда речь заходит о школьной геометрии в старших классах, имя Л.С. Атанасяна всплывает одним из первых. Его учебник для 10–11 классов — это не просто набор параграфов и задач, а настоящий проводник, который уже много десятилетий помогает поколениям учеников осваивать непростой, но увлекательный мир стереометрии. Почему же он выдержал испытание временем и остается актуальным?
Этот учебник подкупает своей кристальной ясностью и строгой логикой. Он выстраивает здание стереометрии кирпичик за кирпичиком, начиная с фундаментальных аксиом и постепенно подводя к сложным пространственным конструкциям, векторам и координатному методу. Чувствуется продуманность каждого раздела, а система упражнений в конце глав позволяет не просто закрепить материал, но и по-настоящему погрузиться в тему, решая задачи разного калибра – от базовых до требующих нетривиального подхода.
Одно из главных достоинств пособия — это удивительный баланс между сухой теорией и живой практикой. Каждое определение, каждая теорема сопровождается наглядными, хоть и черно-белыми, чертежами, которые помогают «увидеть» пространственные отношения. Задачи подобраны мастерски: они не только тренируют применение формул, но и развивают то самое «геометрическое зрение», без которого стереометрия остается лишь набором абстракций. Разделы вроде параллельности или перпендикулярности прямых и плоскостей демонстрируют это особенно ярко, предлагая как классические доказательства, так и задачи, над которыми придется поломать голову.
Нельзя не отметить и его роль в подготовке к выпускным экзаменам. Учебник Атанасяна – это отличная база для успешной сдачи ЕГЭ, особенно в части заданий, связанных с построением сечений многогранников и применением координатно-векторного метода. Многие задачи прямо перекликаются с экзаменационным форматом.
Язык изложения, несмотря на строгость предмета, остается удивительно доступным. Даже такие темы, как уравнения плоскости или прямой в пространстве, вводятся постепенно, опираясь на уже усвоенные понятия планиметрии и алгебры. Это создает ощущение непрерывности и логичности учебного процесса. А приятным бонусом в некоторых изданиях служат исторические справки, добавляющие контекст и показывающие, какой долгий путь прошла геометрия от Евклида до наших дней.
Как максимально эффективно работать с этим учебником? Ученикам стоит взять за правило: сначала вдумчиво разобрать примеры, предложенные автором, понять логику решения, а уже потом переходить к самостоятельной работе над задачами. Учителя найдут в нем надежный каркас как для традиционных уроков, так и для более творческих форм работы, например, организации проектов по созданию моделей геометрических тел. Родителям, помогающим своим детям, стоит обратить внимание на «Вопросы для повторения» – это отличный диагностический инструмент для выявления пробелов в знаниях.
Конечно, идеальных учебников не бывает. Кому-то может не хватать ярких цветных иллюстраций, а в редких тиражах встречаются досадные опечатки в ответах (всегда лучше перепроверить с преподавателем!). Но эти мелкие шероховатости ничуть не умаляют его достоинств.
В конечном итоге, учебник Атанасяна — это больше, чем просто источник информации. Это школа мышления. Он учит не просто находить ответы, а выстраивать логические цепочки, видеть пространственные связи и анализировать условия задачи. Это навык, который пригодится далеко за пределами школьного курса геометрии.
ГДЗ по Геометрии 11 класс Номер 563 Атанасян — Подробные Ответы
На рисунке 157 изображён параллелепипед, точки \(М\) и \(К\) — середины рёбер \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\). Назовите вектор, который получится, если отложить: а) от точки \(С\) вектор, равный \(\vec{DD_1}\); б) от точки \(D\) вектор, равный \(\vec{СМ}\); в) от точки \(А_1\) вектор, равный \(\vec{АС}\); г) от точки \(С_1\) вектор, равный \(\vec{СВ}\); д) от точки \(М\) вектор, равный \(\vec{КА_1}\).
а) Вектор \(\vec{СС_1}\), так как \(\vec{СС_1} \parallel \vec{DD_1}\) и \(СС_1 = DD_1\); б) Вектор \(\vec{DK}\), так как \(\vec{СМ} \parallel \vec{DK}\) и \(СМ = DK\) (\(\vec{DD_1} = \vec{СС_1}\) и \(D_1К = С_1М\), значит \(\triangle DKD_1 = \triangle CMC_1\)); в) Вектор \(\vec{А_1С_1}\), так как \(\vec{А_1С_1} \parallel \vec{АС}\) и \(А_1С_1 = AC\) (\(AD = A_1D_1\) и \(DC = D_1C_1\), значит \(\triangle ADC = \triangle A_1D_1C_1\)); г) Вектор \(\vec{С_1В_1}\), так как \(\vec{С_1В_1} \parallel \vec{СВ}\) и \(С_1В_1 = СВ\); д) Вектор \(\vec{МВ_1}\), так как \(\vec{МВ_1} \parallel \vec{КА_1}\) и \(МВ_1 = КА_1\).
а) \(\vec{СС_1}\); б) \(\vec{DK}\); в) \(\vec{А_1С_1}\); г) \(\vec{С_1В_1}\); д) \(\vec{МВ_1}\).
Дано: ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед; точки \(М\) и \(К\) — середины рёбер \(B_1C_1\) и \(A_1D_1\).
Найти: Вектор, который получится, если отложить:
а) от точки \(С\) вектор, равный \(\vec{DD_1}\);
б) от точки \(D\) вектор, равный \(\vec{СМ}\);
в) от точки \(А_1\) вектор, равный \(\vec{АС}\);
г) от точки \(С_1\) вектор, равный \(\vec{СВ}\);
д) от точки \(D\) вектор, равный \(\vec{КА_1}\).
Решение:
а) Отложим от точки \(С\) вектор, равный \(\vec{DD_1}\). В параллелепипеде противоположные рёбра параллельны и равны по длине. Вектор \(\vec{DD_1}\) направлен вдоль ребра \(DD_1\). Ребро \(CC_1\) параллельно ребру \(DD_1\) и имеет ту же длину, поэтому вектор \(\vec{CC_1}\) равен вектору \(\vec{DD_1}\). Откладывая вектор, равный \(\vec{DD_1}\), от точки \(С\), мы перемещаемся из точки \(С\) на вектор \(\vec{CC_1}\). Конечной точкой будет \(С_1\). Следовательно, получится вектор \(\vec{СС_1}\).
б) Отложим от точки \(D\) вектор, равный \(\vec{СМ}\). Точка \(М\) является серединой ребра \(B_1C_1\). Рассмотрим вектор \(\vec{СМ}\). Его можно представить как сумму векторов \(\vec{СС_1}\) и \(\vec{С_1М}\). Поскольку \(М\) — середина \(B_1C_1\), вектор \(\vec{С_1М}\) равен половине вектора \(\vec{С_1В_1}\). Точка \(К\) является серединой ребра \(A_1D_1\). Рассмотрим вектор \(\vec{DK}\). Его можно представить как сумму векторов \(\vec{DD_1}\) и \(\vec{D_1K}\). Поскольку \(К\) — середина \(A_1D_1\), вектор \(\vec{D_1K}\) равен половине вектора \(\vec{D_1A_1}\). В параллелепипеде векторы \(\vec{СС_1}\) и \(\vec{DD_1}\) равны, а также векторы \(\vec{С_1В_1}\) и \(\vec{D_1A_1}\) равны. Следовательно, \(\vec{СМ} = \vec{СС_1} + \frac{1}{2}\vec{С_1В_1} = \vec{DD_1} + \frac{1}{2}\vec{D_1A_1} = \vec{DK}\). Так как вектор \(\vec{СМ}\) равен вектору \(\vec{DK}\), откладывая вектор, равный \(\vec{СМ}\), от точки \(D\), мы получим вектор \(\vec{DK}\).
в) Отложим от точки \(А_1\) вектор, равный \(\vec{АС}\). Вектор \(\vec{АС}\) является диагональю основания \(ABCD\). Его можно представить как сумму векторов \(\vec{АВ}\) и \(\vec{AD}\). Рассмотрим вектор \(\vec{А_1С_1}\), который является диагональю основания \(A_1B_1C_1D_1\). Его можно представить как сумму векторов \(\vec{А_1В_1}\) и \(\vec{А_1D_1}\). В параллелепипеде векторы \(\vec{АВ}\) и \(\vec{А_1В_1}\) равны, а также векторы \(\vec{AD}\) и \(\vec{А_1D_1}\) равны. Следовательно, \(\vec{АС} = \vec{АВ} + \vec{AD} = \vec{А_1В_1} + \vec{А_1D_1} = \vec{А_1С_1}\). Так как вектор \(\vec{АС}\) равен вектору \(\vec{А_1С_1}\), откладывая вектор, равный \(\vec{АС}\), от точки \(А_1\), мы получим вектор \(\vec{А_1С_1}\).
г) Отложим от точки \(С_1\) вектор, равный \(\vec{СВ}\). Вектор \(\vec{СВ}\) направлен вдоль ребра \(СВ\). В параллелепипеде ребро \(C_1B_1\) параллельно ребру \(СВ\) и имеет ту же длину. Следовательно, вектор \(\vec{С_1В_1}\) равен вектору \(\vec{СВ}\). Откладывая вектор, равный \(\vec{СВ}\), от точки \(С_1\), мы перемещаемся из точки \(С_1\) на вектор \(\vec{С_1В_1}\).
Исследовательские задачи
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.